师：同学们，今天我们一起来学习粤教版必修2第四单元功能关系。之前我们学了功的计算，如果是恒力做功，可以用$W = FS\cos\alpha$来计算。由这个公式可知，重力做功与路径无关，只与高度差有关。要是变力做功，通常利用动能定理来求解。我们还学习了动能$E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}$，重力势能$E_{P}=mgh$，弹性势能大小与弹簧的劲度系数和形变量有关，劲度系数越大、形变量越大，弹性势能就越大。这三种能量统称为机械能。
功和能之间是什么关系呢？功是能量变化的度量，做功的过程就是能量变化的过程。做了多少功就有多少能量发生变化，不同的力做功对应不同能量的变化。动能定理表明，合力做的功等于末动能减去初动能，表达式为：等号一边是合力做的功，另一边是动能的变化量。求合力做的功有两种方法，一种是分别求出每个力做的功，再将它们代数相加；如果合力是恒力，还可以利用公式$W_{合}=F_{合}s\cos\alpha$来求解。动能定理应用范围很广，既适用于直线运动，也适用于曲线运动；既适用于恒力做功，也适用于变力做功。
应用动能定理的解题步骤如下：首先确定研究对象；第二，选择研究过程，确定初末状态，进而确定物体的初末动能；第三，分析过程中对象的受力，写出各力所做的功，以便求出总功；第四，写出动能定理的表达式并求解。
重力做功会引起重力势能的变化，当物体从高到低时，重力做正功，重力势能减少量等于重力所做的功；当物体从低往高运动时，重力做负功，重力势能增加，增加量等于克服重力所做的功。由此可见，重力做正功时，重力势能减少；重力做负功时，重力势能增加，所以重力做的功等于初态的重力势能减去末态的重力势能。
弹力做功引起弹性势能的变化，$O$点是弹簧原长的位置，小球位于$B$点时，弹簧伸长，弹簧对小球的弹力向左。当小球从$B$点运动到$O$点时，弹簧的弹力对小球做正功，弹簧的弹性势能减小量等于弹力所做的功；当小球从$O$点运动到$A$点时，弹簧被压缩，弹力向右，弹力对小球做负功，弹簧的弹性势能增加，增加量等于克服弹力所做的功。可以发现，弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加，因此弹力做的功等于初态的弹性势能减去末态的弹性势能。
下面来看一道练习。先看A选项，求拉力对重物所做的功。求功要先对物体进行受力分析，物体受到竖直向下的重力$G$和沿绳向上的拉力$T$。题目告知物体上升的加速度$a = \frac{1}{3}g$，根据牛顿第二定律$T - mg = ma$，可得拉力大小$T = \frac{4}{3}mg$，那么拉力做的功等于拉力乘以拉力方向上的位移，也就是物体上升的高度$h$，结果为$\frac{4}{3}mgh$。
再看B选项，求重力势能的增加量。先求出重力所做的功，为$-mgh$，所以重力势能的增加量就是$mgh$。
接着看C选项，求动能的增加量。根据动能定理，动能增加量等于合力做的功，合力$F = ma$，合力做的功为$mah$，把$a = \frac{1}{3}g$代入，可得动能的增加量为$\frac{1}{3}mgh$。
最后看D选项，求机械能的增加量，它等于重物动能的增加量加上重力势能的增加量，结果是$\frac{4}{3}mgh$。所以这题应该选ABC。我们还发现，机械能的增加量与拉力所做的功相等。同学们想一想，机械能的变化量与哪些力做功有关？回顾一下机械能守恒定律，在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。从功的观点看，机械能守恒时，除重力或弹力外，还可受其他力，但其他力不做功，即如果还有其他力做功，机械能就会变化，且机械能的变化量等于其他力所做的功。从能量的观点来看，机械能守恒时，只有系统内动能和势能相互转化，没有其他形式的能量（如内能）参与，也就是说如果机械能变化了，必然会有其他形式能量的参与。以这题为例子，拉力做的功就是除重力和弹力以外其他力所做的功，它等于物体机械能的变化量，用公式表示为$W_{其他力}=E_{2}-E_{1}$，$E_{2}$为末态的机械能，$E_{1}$为初态的机械能。
好，来看下一题。滑板足够长，说明滑块不会从滑板上掉下去。这道题的研究对象有两个，滑块和滑板，需要分别对它们进行受力分析。先看滑块，滑块受到竖直向下的重力、滑板给的支持力以及滑板给的向左的滑动摩擦力，因为滑块相对于滑板是向右运动的。滑板则受到重力、地面给的支持力、滑块给的向下的压力，还有滑块施加的向右的滑动摩擦力。在这一对摩擦力的作用下，滑块向右减速，滑板向右加速，最终两者共速一起匀速运动。画出两者的位移关系图，这是滑块的对地位移，这是滑板的对地位移，而这是滑块相对于滑板的位移。
第一问，求摩擦力对滑块所做的功。对滑块列动能定理，合力对滑块所做的功等于摩擦力对滑块所做的功，是负功，即$-f\times s_{块}=\frac{1}{2}mv^{2}-\frac{1}{2}mv_{0}^{2}$，这个式子可求出第一问答案。
第二问，求摩擦力对滑板做的功。对滑板列动能定理，摩擦力对滑板做正功，$f\times s_{板}=\frac{1}{2}mv^{2}-0$，此式可求出第二问答案。
第三问，求系统克服摩擦力做的功，也就是求滑块与滑板之间这一对滑动摩擦力做功的总功的绝对值。将一式和二式相加，可得这一对滑动摩擦力做的总功。从等号左边$ s_{板}< s_{块}$可知，这是负功。将等号两边取绝对值就得到系统克服摩擦力做的功，等号右边就是第三问答案。
我们知道功是能量变化的量度，系统中这一对滑动摩擦力做的功实现了什么样的能量变化呢？看等号右边，第一项是系统的初动能，第二项是系统的末动能，两者相减就是系统动能的减少量，也就是摩擦产生的内能，它等于系统克服摩擦力所做的功。由此得到摩擦热的计算公式$Q = f\times s_{相对}$，即滑动摩擦力乘以相对路程。
现在小结一下这对功能关系，摩擦产生的内能等于系统克服摩擦力做的功，$Q = f\times s_{相对}$。从推导可知，摩擦热不是一个滑动摩擦力做功的结果，而是一对摩擦力做功的结果。因此求摩擦热时，往往对系统来列式。如果物体在粗糙地面上滑动，由于地面不动，物体对地面的滑动摩擦力做的功为零，那么摩擦热就等于物体克服自身受到的滑动摩擦力所做的功，本质还是一对滑动摩擦力做功，只是有一个摩擦力做功为0而已。
要是物体在路上撞到一堵墙又反弹回来，摩擦热怎么计算呢？全程看，物体受到的滑动摩擦力方向会改变，因为滑动摩擦力始终与物体相对运动方向相反。撞墙前，物体速度向右，滑动摩擦力向左；撞墙后速度向左，滑动摩擦力向右。求这样一个变力做功，可分两段处理。撞墙前，滑动摩擦力是恒力，此过程中摩擦力做的功为$-f\times S_{1}$；撞墙后，滑动摩擦力也是恒力，做功为$-f\times S_{2}$，两段相加就是全程摩擦力做的总功，为$-f\times(S_{1}+S_{2})$，即往返的总路程。所以公式中的$s_{相对}$准确来讲应该是相对路程。
同学们想一想，一对静摩擦力做功是否会产生热量？答案是否定的，因为产生静摩擦力时，物体之间相对静止，相对路程为0，根据公式，摩擦热自然为0。所以公式$Q = f\times s_{相对}$里的$f$指的是滑动摩擦力。
好了，现在功能关系讲完了，不同的力做功对应不同形式能量的变化，功是能量变化的量度。我们可以利用做功求出物体能量的变化量，也能利用能量的变化反推出做功的大小。下面通过两道题来应用这些功能关系。
先审题，题目中“自由下落”意味着没有空气阻力，已知$B$点的受力情况，可推出$B$点速度大小。题目没说圆弧轨道光滑，通常就认为是粗糙的，要考虑摩擦，这里的滑动摩擦力是变力，因为支持力的大小和方向都在变。
这题问的是$P$到$B$的过程，先看A选项，求重力对小球做的功。求重力做的功主要看高度变化，与路径无关。初末位置高度差是$r$，根据重力做功公式$mgh$，代入可知重力做的功为$mgr$，所以A选项错误。
再看B选项，求合力所做的功。此过程中合力是变力，直接求不好求，利用动能定理。首先要确定初末位置，从而确定初末动能，已知物体初速度为0，需要求物体的末速度$v_{B}$。看$B$点，已知小球在$B$点对轨道的压力是$\frac{1}{2}mg$，因为力的作用是相互的，轨道对小球的反作用力大小也为$\frac{1}{2}mg$，方向向下。除此之外，小球还受到重力，重力与弹力的合力提供小球所需的向心力，所以$mg + N = \frac{mv_{B}^{2}}{r}$，将$N = \frac{1}{2}mg$代入可算出小球在$B$点的速度。再将$v_{B}$结果代入动能定理表达式，就能求出合力做的功，所以B选项正确。
接着看C选项，求小球与轨道间摩擦产生的内能。前面讲了摩擦热等于小球克服摩擦力所做的功，这里摩擦力是变力，直接求不好求，也利用动能定理。明确研究过程是从$P$到$B$，对小球受力分析，受到重力、支持力和滑动摩擦力。其中支持力总是与速度垂直不做功，所以合力做的功等于重力做的功$mgh$加上滑动摩擦力做的功$W_{F}$，它等于小球的末动能$\frac{1}{2}mv_{B}^{2}-0$，由此式子可求出摩擦力所做的功为$-\frac{1}{4}mgr$，那么小球克服摩擦力做的功就是$\frac{1}{4}mgr$，所以C选项错误。
最后看D选项，求小球机械能的减少量。C选项已求出小球克服摩擦力做的功为$\frac{1}{4}mgr$，我们知道机械能的变化量等于除重力以外其他力所做的功，这里就是克服摩擦力所做的功，所以机械能的减少量是$\frac{1}{4}mgr$，D选项错误。
综合分析，这道题应该选B。
再来看第四题，这是一道与弹簧有关的题目，一起审题。自由态到达$O$点，说明弹簧原长位置在$O$点。到达$B$点速度为0，说明物体从$O$到$B$动能在减小，弹力和摩擦力做负功。刚好回到$A$点，说明回到$A$时物体速度减为0，物体停在$A$点。明确这些关键点后，看整个运动过程。当物体从$O$点运动到$B$点，物体向左运动压缩弹簧，受到的弹力向右，弹力做负功，弹性势能增加；当物体从$B$点弹回到$O$点，物体向右运动，弹力也向右，弹力做正功，弹性势能减小。物体从$O$点向左压缩弹簧到被弹回$O$点的过程中，弹簧初末状态弹性势能都是0，说明此过程弹性势能变化量为0。从做功角度看，这个过程中弹力做的总功为0，即从$O$到$B$弹力做的负功与从$B$到$O$弹力做的正功正好抵消。小球在$B$点时弹簧形变量最大，所以弹性势能最大。
要求最大弹性势能，可利用功能关系转化为求弹力所做的功。求弹力做的功利用动能定理，等号左边是各个力所做的总功，右边是末动能减初动能。这道题过程较多，列式时要清晰明确式子对应的过程。当物体从$A$点运动到$B$点，末动能是0，初动能是$\frac{1}{2}mv_{0}^{2}$；当物体从$B$点到$A$点，初末动能都是0，动能变化量为0；当物体从$A$向左运动又弹回到$A$点，末动能为0，初动能是$\frac{1}{2}mv_{0}^{2}$。
这三个过程中，任选两个式子联立求解，就能求出动摩擦因数$\mu$以及弹力做的功，再结合弹力的功能关系，可求出弹簧的最大弹性势能。这道题还能从另一个角度列式，即系统机械能的改变量等于克服摩擦力做的功。等号左边是系统机械能的减少量，右边是克服摩擦力所做的功。物体从$A$到$B$的过程中，机械能的减少量等于动能的减少量$\frac{1}{2}mv_{0}^{2}$减去弹性势能的增加量$E_{P}$；物体从$B$点到$A$点的过程中，由于初末动能都是0，动能改变量为0，机械能的减少量就是弹性势能的减少量；物体从$A$点回到$A$点的过程中，弹簧弹性势能不变，系统机械能的减少量等于物体动能的减少量$\frac{1}{2}mv_{0}^{2}$。联立任意两个式子也能求出动摩擦因数$\mu$和弹簧的最大弹性势能$E_{P}$。
最后总结一下本节课内容，利用功能关系求解时，同学们首先要对物体进行受力分析，明确有哪些力做功，不同的力做功对应不同形式能量的变化。通过求做功可求出能量的变化量，反之，通过求能量的变化量也能推出物体做功的多少。求变力做功可转化为求能量的改变量。在众多功能关系中，动能定理使用频率很高，因为它涉及各个力做的功，还能用来求变力做功，使用范围很广。涉及机械能变化的问题，可用除重力和弹力以外其他力做功与机械能变化的关系来分析。机械能的损耗往往转化为摩擦热，摩擦热大小等于滑动摩擦力乘以相对路程。课程到此结束，谢谢大家。