师：各位同学，大家好。今天我们来学习椭圆轨道以及双星或者三星系统。我们先来看看今天的学习内容，一是椭圆轨道，二是双星或三星系统。通过前面的学习，我们知道天体的运动主要分为圆轨道和椭圆轨道两种。对于椭圆轨道，中心天体会位于椭圆的一个焦点上，这就是开普勒第一定律的内容。开普勒第一定律描述的是所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。而圆轨道的天体是在做匀速圆周运动，椭圆轨道的天体则是在做速率变化的运动。对于速率的变化，我们可以通过开普勒第二定律来描述，我们来看开普勒第二定律的内容。
开普勒第二定律描述的是对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。怎么理解呢？我们取相等的时间，这里会形成一个扇形面积，这是行星与太阳的连线，同样在另一个相等时间内也会形成一个扇形面积，这两个面积相等。从这里可以直观地看出，行星走某一段弧长时的速度，会比走另一段弧长时的速度快。
好，这是开普勒第二定律的内容，我们再看看开普勒第三定律。它描述的是所有行星轨道的半长轴三次方与它公转周期的二次方的比值都相等。注意，这个定律成立的前提是同一个中心天体。以这里为例，中心天体都是地球，所以这里的椭圆轨道和圆轨道都符合开普勒第三定律。如果椭圆的半轴长等于圆轨道的半径，那么椭圆轨道的周期就会等于圆轨道的周期。这就是我们从开普勒三定律对圆轨道和椭圆轨道的描述。接下来，我们从其他方面探讨一下圆轨道和椭圆轨道的问题。
对于卫星绕地球运动的椭圆轨道，我们把卫星离地球最近的点叫做近地点，离地球最远的点叫做远地点。卫星由近地点往远地点运动时，会受到地球引力作用，此时速度与引力的夹角是钝角。根据力与运动的知识，我们知道卫星在这个过程中会做减速运动。反之，卫星由远地点向近地点运动时，同样受到地球引力作用，这时它们之间的夹角是锐角，卫星就会做加速运动。
这是从力与运动的角度分析，那从功能的角度又该如何分析呢？卫星由近地点向远地点运动时，由于力与速度的关系，引力对卫星做负功，卫星的动能会减少，自然就是减速运动。反过来，由远地点向近地点运动时，力与速度夹角为锐角，引力对卫星做正功。需要注意的是，不管引力对卫星做正功还是负功，引力做功都不会改变卫星的机械能，所以卫星沿椭圆轨道运行时机械能守恒。
接下来看看圆轨道。卫星在圆轨道上运动时，受到地球引力作用，引力与速度始终垂直。由此可知，引力只会改变速度的方向，不会改变速度大小，卫星做匀速圆周运动。力垂直于速度，引力始终不做功，所以卫星在圆轨道运动时同样机械能守恒。
以上我们从力与运动和功能关系研究了椭圆轨道和圆轨道的运动情况。接下来总结一下椭圆轨道和圆轨道的异同。先看不同点，圆轨道做匀速圆周运动，合外力等于向心力；而椭圆轨道做速率变化的运动，离中心天体越远，速率越小，离中心天体越近，速率越大。第二点，做圆周运动的卫星，万有引力全部用来提供向心力；做椭圆运动的卫星，合外力只有一部分用来提供向心力，另一部分有其他用途。再看相同点，不管是椭圆轨道还是圆轨道，在各自轨道上运动时都满足机械能守恒，同时也都满足开普勒三定律。在一定条件下，圆轨道和椭圆轨道可以实现轨道变换。例如，卫星沿椭圆轨道运动，在某位置点火减速，速度达到一定条件，就可以沿圆轨道做匀速圆周运动；卫星沿圆轨道做匀速圆周运动，在某位置点火加速，就可以沿椭圆轨道运动。实际上，卫星沿椭圆轨道运动到某点时点火加速，速度达到一定条件，还能实现大圆运动；卫星沿圆轨道运动到某位置点火减速，也能实现小椭圆运动。这就是圆轨道与椭圆轨道变换的问题。接下来看一道练习题。
在发射高轨道地球卫星时，可先将其发射到贴近地球表面运行的圆轨道一上，再通过椭圆轨道二变轨到预定的圆轨道三上。如图所示，已知地球半径为(r)，图中(PQ)长为(8r)。卫星在变轨过程中质量不变。先看(a)选项，它让我们比较二轨道上(q)点的速度和三轨道上(p)点的速度。这里要比较椭圆和圆上的速度，椭圆没有直接的速度计算公式，所以我们引入一个中间量，即一轨道上(q)点的速度。一轨道和三轨道都是圆轨道，对于圆周运动，我们可以用合外力提供向心力，也就是万有引力提供向心力：(G\frac{Mm}{r^{2}} = m\frac{v^{2}}{r})，得到(v = \sqrt{\frac{GM}{r}})。根据半径关系，我们可以得到(v_{P3} < v_{Q1})。而从一轨道进入二轨道需要加速，所以(v_{Q1} < v_{Q2})。综合这两个关系，就可以得出(v_{P3} < v_{Q2})，所以(a)选项正确。
再看(b)选项，它让我们比较经过三轨道上(p)点的加速度和二轨道上(p)点的加速度。要求加速度，我们自然想到用(F_{合}=ma)的方法。在(p)点，物体受到的合外力就是万有引力，即(G\frac{Mm}{r^{2}} = ma)，化简可得(a = G\frac{M}{r^{2}})。因为不管是在二轨道还是三轨道，(p)点两质心之间的距离相等，所以(a_{P3} = a_{P2})，(b)选项错误。
可能有同学会问，为什么不用(a = \frac{v^{2}}{r})这个公式呢？如果用这个公式，我们需要找到速度关系和圆周运动半径的关系。速度关系我们可以知道，从二轨道进入三轨道需要加速，所以(v_{P2} < v_{P3})。但对于三轨道，其半径就是圆的半径；对于二轨道，它是椭圆运动，对应半径是该位置的曲率半径。此时会出现大的分子比上大的分母，与小的分子比上小的分母的大小比较，这种情况不容易判断，所以我们没有用这个公式。
接着看(c)选项，它让我们比较两个轨道的周期关系，一个是圆轨道一，一个是椭圆轨道二。要比较椭圆轨道和圆轨道的周期，我们要用到开普勒第三定律。开普勒第三定律中的(a)指半长轴，对于圆轨道，半长轴就是圆轨道半径。题目中说这是一颗近地卫星，地球半径为(r)，所以(a_{1} = r)。对于椭圆轨道，(PQ)是长轴，即两倍的半长轴，已知(PQ = 8r)，所以(a_{2} = 4r)。综合这些信息，我们可以推导得出，一轨道的周期小于二轨道的周期。不仅能得到大小关系，还能得到准确的数量关系，一轨道周期与二轨道周期之比是(1:8)，所以(c)选项错误。
最后看(d)选项，它让我们在质量不变的情况下比较两个轨道的机械能，我们比较两个不同轨道(q)点的机械能。我们知道从一轨道进入二轨道需要加速，所以一轨道(q)点的动能小于二轨道(q)点的动能。在同一个点，一轨道(q)点的势能等于二轨道(q)点的势能，而机械能是势能与动能的总和，所以可以直接得出一轨道的机械能小于二轨道的机械能，(d)选项正确。所以这道题的正确答案是(a)、(d)两个选项。
通过这道题目的分析，我们来总结一下收获。第一，比较椭圆轨道和圆轨道速度时，通常要引入中间量，因为我们没有椭圆轨道速度的直接计算方法。第二，计算天体运动加速度时，通常直接使用(F_{合}=ma)的式子，而不用(a = \frac{v^{2}}{r})或(a = \omega^{2}r)。第三，利用开普勒第三定律求解椭圆的周期。第四，如果要比较不同轨道的机械能，我们就寻找轨道之间的公共点，比较这个公共点的机械能大小关系，因为各自轨道机械能守恒。这就是关于卫星变轨的问题。接下来我们看双星或者三星系统。
宇宙中的双星会绕着它们之间的某个点做匀速圆周运动，三星也会绕着某个点做匀速圆周运动。像这种在相互万有引力作用下，绕着某个点做匀速圆周运动的系统，我们称之为双星或三星系统。对于双星或三星系统，它们有什么特点呢？第一，它们转动的角速度或周期相等；第二，它们的万有引力的合力提供向心力。
我们来看一道练习题。题目说宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受彼此之间万有引力作用而相互环绕转动，称为双星系统。在银河系中，多数恒星都是双星系统。设某双星系统(A)、(B)绕其连线上的(O)点做匀速圆周运动，如图所示，已知(AO > BO)。假设它们顺时针转动，从几何关系我们可以得到它们各自的半径。根据(v = \omega r)，因为它们的(\omega)相同，所以可以得出(a)选项正确。从图中可知两星之间的距离就是两个半径之和。
接下来看(b)、(c)、(d)选项。这里让我们比较它们的质量，以及质量一定或距离一定时的关系。我们有两条思路，(\omega)相等已经用过了，现在要用第二条思路，即合力提供向心力。我们对其中一颗天体(A)分析，它受到(B)对它的万有引力(G\frac{M_{A}M_{B}}{l^{2}})，做圆周运动所需向心力是(M_{A}\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}R_{A})，万有引力提供向心力，二者相等。同理对(B)分析也能得到类似式子。这两个式子左边相同，意味着右边也相等，经过整理可以得到(M_{A}R_{A} = M_{B}R_{B})，由此可知(b)选项错误。
再看(C)、(D)选项。对这两个式子进行整理，左右两边分别相加，经过整理可以得到(T = \sqrt{\frac{4\pi^{2}l^{3}}{G(M_{A} + M_{B})}})。由此可知，当双星距离(l)一定时，它们的质量之和越大，转动周期越小；当双星质量一定时，它们之间的距离越大，周期越大。所以(c)选项错误，(d)选项正确。
我们再看一道三星的题目。题目说设三个质量均为(m)的天体，组成稳定的等边三角形，绕三角形的中心做匀速圆周运动，运动周期为(T)，已知万有引力常量为(G)，求该三星系统中两天体之间的距离。这是三星及其轨道，它们做匀速圆周运动。题目条件是三个质量均为(m)的等边三角形，根据对称性，圆心在三角形中心，这个位置就是圆周运动半径。同样根据对称性，每个星到圆心的距离一样，题目要求的两天体之间的距离就是正三角形的边长。
做匀速圆周运动的物体，由合外力提供向心力，天体之间的相互作用力是万有引力，所以是万有引力的合力提供向心力。我们对其中一颗天体进行分析，它会受到另外两颗天体的引力作用，这两个引力不在同一条直线上，所以需要通过正交分解来处理。我们建立坐标，找到角度为(30)度。经过运算，得到(G\frac{m^{2}}{l^{2}}\cos30^{\circ})（这是两个引力分别往某方向分解后相加得到的合外力），合外力等于向心力(m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r)。这里要强调，式子中的(l)是两质心之间的距离，式子中的(r)是圆周运动的半径。在上节课学习的绕中心天体做匀速圆周运动中，两质心之间的距离就是圆周运动半径，但这里没有中心天体，这两个距离不相等。
我们来找(r)与(l)的关系。在这个三角形中，三角形的高等于边长(l)乘以(\sin60^{\circ})。根据几何关系，圆周运动半径(r)等于(\frac{\sqrt{3}}{2}l\times\frac{2}{3})。联立方程解得(l = \sqrt[3]{\frac{GmT^{2}}{4\pi^{2}}})。
我们来小结一下，本节课主要学习了两个内容。一是天体沿椭圆轨道运动，具有以下三个特点：满足开普勒三定律；满足牛顿第二定律；在各自轨道上机械能守恒。二是双星或三星系统，具有以下两个特点：每颗星的(\omega)或周期相同；每颗星由其他星的万有引力的合力提供向心力。本节课就学习到这里，谢谢大家。