师：今天我们一起来学习高一物理必修2第四单元功能关系第一课时。通过之前的学习，我们已经掌握了求解恒力做功的方法。重力做功与路径无关，只和高度有关；而对于变力做功，则可以用微元法或者动能定理来求解。
在能的方面，我们认识了动能、重力势能、弹性势能，以及它们三者之和——机械能。通过很多现象，我们发现功和能是两个密切联系的物理量，做功的过程就是能量变化的过程，能量的转化必须通过做功来实现，所以功是能量转化的量度，做了多少功就会有多少能量发生转化。
比如说动能定理，它表达了合外力做功与动能变化之间的关系，即合外力做的功等于末状态的动能减去初状态的动能。对于合外力做功的求解，有两种方法：第一种是把每个力的做功相加，$W_{合}=W_1 + W_2 + W_3$；第二种方法是用恒力做功的公式，$W = Fs\cos\alpha$ 。动能定理的适用范围非常广泛，既适用于直线运动，也适用于曲线运动；既可以用来求解恒力做功，也可以用来求解变力做功。
在利用动能定理解决实际问题时，一般按照以下四个步骤进行：第一，确定研究对象；第二，选择研究过程，确定初末状态；第三，分析过程中对象的受力，写出各个力做的功；最后列表达式进行求解。
当起重机把重物从高处放回低处的过程中，重力做正功，物体重力势能的减小量等于重力所做的功。相反，起重机把物体从低处拉到高处的过程中，重力做负功，物体重力势能的增加量等于物体克服重力所做的功，所以重力做功等于重力势能的减小量。
与重力做功类似，在弹簧弹力的作用下，物体从$b$向$o$运动的过程中，弹力对物体做正功，弹簧的弹性势能减小；从$o$向$a$的过程中，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，所以弹力做的功等于弹性势能的减小量。
下面我们来解决一个实际问题：起重机将质量为$m$的重物从地面竖直向上吊起高度为$h$，重物的运动简化为由静止开始、加速度为$\frac{g}{3}$的匀加速直线运动。我们对物体进行受力分析，物体受到重力和拉力，根据牛顿第二定律可得拉力$F = \frac{4}{3}mg$。因为拉力是恒力，所以拉力做功$W_{拉}=\frac{4}{3}mgh$。物体被提高了$h$，物体克服重力做功$W_{G}=mgh$，重力势能增加了$mgh$。
可以用动能定理求解动能的增加量，因为合外力为恒力，合外力$F_{合}=ma$，把$a = \frac{g}{3}$代入，可得合外力做功$W_{合}=F_{合}h = mah = \frac{1}{3}mgh$，即动能的增加量为$\frac{1}{3}mgh$。因为物体的重力势能增加了，动能也增加了，所以机械能增加了$\frac{4}{3}mgh$。
这里我们发现机械能的增加量刚好等于拉力所做的功，这是必然还是偶然呢？我们知道机械能守恒的条件是只有重力或弹力做功，其他力不做功。如果有其他力做功，则机械能就会发生变化，机械能的变化量等于除了重力或弹力外其他力所做的功。从能量角度看，系统内如果只有动能和势能相互转化，没有其他形式能量参与，机械能守恒；若机械能变化，则除了动能和势能外，还有其他形式能量参与，机械能的变化量等于参与的其他形式的能量。所以在这个问题中，重力势能的增加量与拉力做的功相等是必然的。
接下来看第二个问题，题目中有几个关键信息：上部足够长，意味着物体在斜面上运动不会从斜面顶端$a$或$d$滑出；光滑圆孤面与斜面相切，由此可知斜面的倾角为$\theta$，且圆弧形光滑，所以物体在圆弧上运动时机械能守恒，而斜面有摩擦，说明物体在斜面上运动时机械能不守恒。题目要求我们求解物体在斜面上运动的总路程。
我们先对物体进行分析，物体从$a$点以$2m/s$滑向$d$点，在$CD$上从$c$向上滑时，物体受到重力、弹力和摩擦力。当物体滑到最高点时速度为$0$，假设物体可以向下滑动，此时物体受到向上的摩擦力，将物体受到的力进行正交分解，可得物体受到的滑动摩擦力为$\mu mg\cos\theta$，经代入数据可知其小于$mg\sin\theta$，所以物体会沿着斜面往下滑，不会停在斜面上。
由此可知物体从$d$处速度减为$0$会往下滑，到$a$这边速度减为$0$时同样会向下滑，即物体在不断地在斜面上来回运动，且始终受到一个摩擦力，这个摩擦力会使物体运动位置越来越低。物体最终会稳定在哪个位置呢？会不会停在圆弧的底端$e$处？题目中说圆弧面是光滑的，即物体在从$b$向$c$滑动时机械能守恒，如果物体在$b$点速度为$0$，那么它一定可以运动到相同高度的$c$处；反之，从$c$处速度为$0$，也会运动到$b$处。所以物体最终会在$BC$之间来回滑动。
物体整个运动过程是从$a$处以$2m/s$出发，经过多次往返后，最终在$b$和$c$之间来回滑动，到$b$点和$c$点时速度为$0$。在斜面上往返运动过程中，物体始终受到一个与运动方向相反的摩擦力，且摩擦力大小始终等于$\mu mg\cos\theta$，所以摩擦力做的功可以分段表达，$W_{F}=-fS_1 - fS_2 - \cdots$，发现摩擦力大小一样，可把摩擦力提出来，即$W_{F}=-f(S_1 + S_2 + S_3 + \cdots)$，这里的$S_1 + S_2 + S_3 + \cdots$就是物体运动的总路程，我们可以用动能定理来求解。
选一开始为初状态，在$c$点时为末状态，$c$点速度为$0$，从初到末动能的变化量为$0 - \frac{1}{2}mv_0^2$。这个过程中重力做的功为$mgH_{AC}$，摩擦力做的功为$-fS$。求重力做的功时，通过几何关系可得$H_{AC}$的高度，$H_{AC}=h - H_{CE}$，而$H_{CE}=r - r\cos\theta$，所以$H_{AC}=h - r(1 - \cos\theta)$。代入数据可得物体在斜面上运动的总路程为$65$米。