师：各位同学，大家好。今天我们一起来学习高二物理粤教版选择性必修2第三章第二节“描述交变电流的物理量”。上节课我们学习了交流电的瞬时表达式，今天我们思考一个问题：有没有办法更全面、细致、形象地描述交变电流呢？由于交变电流的电压、电流等物理量，其大小和方向都随时间做周期性变化，所以我们需要用一些特殊的物理量来描述它。大家还记得我们学过的什么运动模型同样具有周期性吗？
生：圆周运动。
师：对，圆周运动。因此圆周运动里的一些物理量，可借助到今天的学习中。我们先来复习上节课讲到的交变电流瞬时表达式：$i = nBL_1L_2\omega\sin\omega t = NBS\omega\sin\omega t$，其中前半部分$NBS\omega$是峰值。既然它是正弦表达式，我们就可以用正弦图像来描述它。对于按正弦或余弦规律变化的交变电流——正弦式交变电流，从图像上能看到峰值，这个峰值对应的就是表达式里的$NBS\omega$，把它的大小代入图像就能显示峰值大小。这里要注意，因为它是周期性变化的，图像需反映出周期大小，怎么得到呢？可以从峰值表达式里的角速度$\omega$求出来。在圆周运动的学习中，我们已掌握$\omega$与周期$T$的关系：$\omega = \frac{2\pi}{T}$，因此$T = \frac{2\pi}{\omega}$，周期$T$的单位是国际单位秒。这里的$n$代表什么呢？大家还记得转速吗？
生：记得。
师：对，它代表线圈的转速，即一秒内它能转多少转。这个线圈转速实际上是交流电产生的一个重要条件。那这里还有个$f$，大家还记得它是什么吗？
生：频率。
师：对，它就是频率，代表产生出来的交流电的频率，单位还是用赫兹。好，我们梳理一下描述交变电流的物理量——周期和频率。周期$T$，是交变电流完成一次周期性变化的时间，单位是秒；频率$f$，指交变电流在1秒内完成周期性变化的次数，单位是赫兹。频率是供电质量的重要指标。比如说，现在给了一个交变电流的图像，我们能否把它翻译成瞬时表达式呢？来看几个关键要素，这刚好是一个周期，对应的0.02秒就是周期时间。根据这个周期我们能推导出什么呢？
生：频率跟周期成反比关系。
师：对，所以这个交变电流的频率就是50赫兹。大家知道我们生活中家庭用电的频率也是50赫兹。另一方面，通过周期我们也能得到线圈转动的角速度，$\frac{2\pi}{T}$得到的$100\pi$就是角速度大小。也就是说现在这个波形图，是由于线圈在匀强磁场里以$\omega = 100\pi$这样的角速度旋转产生出来的交变电流。同时提醒大家，关注这里的100，它刚好是频率的两倍，这个两倍关系反映了什么呢？我们看这里电压刚好为零，其实就是上节课学到的一个重要面——中性面。大家观察，在这个波形图里，每次经过中性面时，电流方向就会改变一次。在一个周期里，电流方向改变了两次，所以在频率基础上乘以两倍，这个100就是每秒电流方向改变100次。在这里还要提醒大家，在表达式里的$\omega$，其实就是线圈转动的角速度大小。当这个角速度大小发生变化，或者说线圈转速发生变化时，对两件事会有影响：第一个是峰值大小，第二个是波形的周期。比如说当角速度增大，我们会看到波峰增大，同时周期减小，请大家留意实际情况是如何变化的。我们曾经在恒定电流里学到的欧姆定律，在交变电流里同样适用。所以当发电机或交流电源与电路连接成闭合电路时，我们仍可把它对应成一个简化电路。这里是原来恒定电流的电路图，把它改成交变电流，但外面电路还是接上用电器$r$，产生出来的电流、电压计算方法跟恒定电流里一样。所以我们把交变电路和恒定电路稍作对比，就能知道电流的瞬时表达式跟电压的瞬时表达式都可遵循欧姆定律计算，并且都会发现它们跟正弦还是一致的关系。前面部分提取出来就是电流跟电压的峰值大小，于是我们可以绘制出正弦式电流的电动势、电流和电压随时间变化的图像。那其他的交流电也给大家介绍一下，第一种是家庭电路的正弦交流电，第二种是示波器中的锯齿波，第三种是电子计算机的矩形脉冲，第四种是激光通信中的尖脉冲。那有没有产生其他交变电流的方法呢？来看，一个扇形线圈匀速转动，角速度是$\omega$，大家猜一下它产生出来的$e - t$图会是怎样的？我们看，每次只有一条边在切割，因为这里扇形是90度的扇形，所以当这条边在切割时，另一条边没有，当这条边转到没磁场的地方，就变成另外一条边在切割。每次都只有一条边在切割，并且切割的角速度一样，我们学过旋转切割，对吧？因此能大概推理出它的图像是这样一个矩形波，大家也可以自己设计。下面我们思考一个问题：如图所示，电流$i$通过一个$r = 1\Omega$的电阻，它不是恒定电流，怎样计算通电1秒内电阻$r$中产生的热量？这样一个矩形波，它符合交流电吗？看看方向随周期变化，确实它就是交流电。但我们又观察到这个矩形波上半周的电压跟下半周的电压大小不一样，那计算它产生的热量时，用哪个数字计算才正确呢？
生：对每一小段电流分别用焦耳定律代入数据计算热量。
师：对，$Q = I_1^2RT_1 + I_2^2RT_2 + I_3^2RT_3 + I_4^2RT_4 = 2.8J$。那如果有一个大小方向都不变的恒定电流，通过这个电阻$r$也能在1秒内产生同样的热量，这个电流是多大呢？同样用焦耳定律$Q = I^2RT$，得到$I = \sqrt{\frac{Q}{RT}} = 1.67A$，这就是接下来要探讨的有效值问题。交变电流除了峰值，还有一个重要的有效值。根据电流的热效应规定，让交变电流和恒定电流分别通过相同阻值的电阻，如果它们在交变电流的一个周期内产生的热量相等，这一恒定电流的数值就是相应交变电流的有效值。有点拗口，抓住两点：都对相同电阻通电，都对一个周期进行计算。在一个周期内，这部分是交流电产生的热，这部分是直流电产生的热，当两者热量相等时，直流电的电动势值就可作为交流电的有效值。我们再举个通俗易懂的例子，甲、乙图中电炉烧水，设壶材料相同，水质量相等，水初温相同。若直流电源用10分钟把水烧开，而第二次用交流电时，也用10分钟把水烧开。左边是直流电，电流恒定为3A，右边是交流电，电流是变化的，但交流电和直流电都用10分钟把水烧开，也就是交流电的热效果和直流电相同，所以交流电的电流有效值也是3A。那正弦式交变电流的有效值与峰值的关系到底怎样呢？我们尝试理论推导一下。在交变电流有效值的定义中隐含着等效思想，即通过相同阻值的电阻，交变电流和恒定电流在相同时间内产生的热量相等。根据焦耳定律，对于交变电流有$Q = i^2RT = I_{max}^2\sin^2\omega tRT$，对于恒定电流有$Q = I^2RT$。由于它们热效应相同，故两式相等。交变电流热量表达式中出现三角函数，需设法消除。应用三角函数关系$\sin^2\omega t + \cos^2\omega t = 1$，同时引入一个峰值、周期相同的正弦式和余弦式交变电流，如图3 - 2 - 7和图3 - 2 - 8所示，分别通过阻值均为$r$的电阻。根据对称性思想，图3 - 2 - 7中电流在$0 - \frac{T}{4}$时间内通过电阻$r$产生的热量，与图3 - 2 - 8中$\frac{3T}{4} - T$时间内电流在电阻$r$上产生的热量相等，在其他时间段也有类似等效情况。因此，在一个周期$T$内，图3 - 2 - 7和图3 - 2 - 8所示的正弦式、余弦式交变电流具有相同热效应，即在相同时间内分别产生的热量$Q_1$和$Q_2$相同。根据有效值定义，这意味着它们具有相同的有效值$I$。根据焦耳定律可得$Q_1 = Q_2 = I^2RT$，它们在一个周期内产生的热量之和为$I_{max}^2\sin^2\omega tRT + I_{max}^2\cos^2\omega tRT = 2I^2RT$，可得$I_{max}^2RT = 2I^2RT$，所以$I = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}}$。通过刚才理论推导，我们知道正弦式交流电的有效值与峰值的关系是：电流的有效值等于电流的峰值除以$\sqrt{2}$，同样，电动势的有效值也等于电动势的峰值除以$\sqrt{2}$，电压的有效值也等于电压的峰值除以$\sqrt{2}$。平常在恒定电流里用的大写字母，在交流电里就用来代表有效值大小。我们区分一下，带上“$max$”的是峰值，不带上“$max$”的大写字母就是有效值。对于其他交变电流，其有效值与峰值间的关系需根据有效值定义做具体分析，不能直接套这个表达式。所以上面关系式是针对正弦式交流电的，对其他交流电不适用。好，我们马上练习一下：交变电流随时间变化的图像如图所示，则此交变电流的有效值为多少？这个交流电看上去像正弦交流电，但实际上上下两部分峰值不一样，这时怎么办呢？