师：同学们好，今天我们一起来学习万有引力定律的综合应用。本节课有两个学习内容：一是通过示例讲解利用万有引力定律解决问题的两种思路；二是探讨双星系统的特点。
之前的学习中，我们知道星体绕中心天体做圆周运动时，万有引力等于向心力，表达式为$G\frac{Mm}{r^{2}} = F_{向}$。这里的$M$指中心天体质量，$m$指环绕天体质量，$r$是圆周运动半径。今天给大家提供另一个思路，在星体表面附近，可认为物体重力等于万有引力，即$G\frac{Mm}{r^{2}} = mg$，这里的$r$指中心天体半径，对应的$g$是该天体表面重力加速度。将式子变形可得$GM = gr^{2}$，这样就把两种思路联系起来了。接下来用这两个思路解决几个问题。
第一个问题，卫星运动参量的分析和比较。同学们看题，卫星$a$、$b$、$c$绕地球做匀速圆周运动，已知$a$的质量等于$b$的质量，且大于$c$的质量。问这三颗卫星的向心力、速度、加速度和周期大小关系如何？
因为卫星圆周运动的向心力由万有引力提供，即万有引力等于向心力。先比较向心力大小，看$a$、$b$两颗卫星，$a$卫星半径小于$b$卫星半径，且$a$、$b$卫星质量相等，根据$F = G\frac{Mm}{r^{2}}$可知，$r$越大，向心力越小，所以$F_{a} > F_{b}$。接着比较$b$、$c$两颗卫星，$b$、$c$卫星半径相等，已知$b$的质量大于$c$的质量，同样根据上述公式可得$F_{b} > F_{c}$，所以$F_{a} > F_{b} > F_{c}$，$a$选项错误。
对于$b$、$c$、$d$选项，我们把向心力写成表达式$G\frac{Mm}{r^{2}} = m\frac{v^{2}}{r}$，可得$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$，发现半径越大速度越小。因为$R_{a} < R_{b} = R_{c}$，所以$v_{a} > v_{b} = v_{c}$，$b$选项正确。
比较周期，选用周期公式$T = 2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{GM}}$，$r$越大，周期越长，所以$T_{a} < T_{b} = T_{c}$，$c$选项错误。
比较加速度，由万有引力等于$ma$，即$G\frac{Mm}{r^{2}} = ma$，可得$a = \frac{GM}{r^{2}}$，半径越大，加速度越小，所以$a_{a} > a_{b} = a_{c}$。
同学们可以总结规律，发现$r$越大，线速度和加速度越小，周期越长。即随着半径变大，线速度、角速度和加速度变小，周期变大。
第二个问题，天体的质量和密度。下列哪些选项可以计算出地球的质量？要计算地球质量，把地球当作中心天体，找一颗卫星绕它做圆周运动。卫星向心力由万有引力提供，即$G\frac{Mm}{r^{2}} = F_{向}$。式子右边都有卫星质量$m$，两边可约掉。式子右边还有轨道半径$r$，要求中心天体质量，需知道半径$r$、引力常量$G$，以及$v$、$\omega$、$T$中的任意一个。
看选项，$a$选项已知圆周运动半径$r$、周期$T$和引力常量$G$，已知$G$、$r$和$T$，可以求出地球质量，$a$选项正确。$b$选项已知匀速圆周运动速度$v$、轨道半径$r$和引力常量$G$，已知$G$、$r$、$v$也可求出，$b$选项正确。$c$选项已知卫星绕地球圆周运动速度、周期和引力常量$G$，与$a$、$b$选项对比，虽没直接给出轨道半径，但速度$v$和周期$T$有关系：$v = \omega r$，$\omega = \frac{2\pi}{T}$，所以能求出轨道半径$r$，$c$选项正确。$d$选项已知地球半径$r$、地球重力加速度$g$和引力常量$G$。思路一中没有重力加速度和地球半径，此时可采用思路二，认为物体重力等于万有引力，已知$g$、$r$和引力常量$G$能求出中心天体质量$M$，$d$选项正确。所以这个题目选$ABCD$。
如果进一步问要计算地球密度，还需要知道什么物理量呢？因为密度等于质量除以体积，地球是球体，体积$V = \frac{4}{3}\pi r^{3}$，所以还需要知道地球半径。
接下来看第三个问题，宇宙速度。宇航员以$v_{0}$竖直上抛一个物体，经过$t$后落回手中，已知该星球半径为$R$。现在将物体沿星球表面平抛出去，使物体不再落回星球表面，问抛出速度多大？把物体平抛出去绕星球做匀速圆周运动，这就是第一宇宙速度。
要把示意图画出来，物体绕星球做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，即$G\frac{Mm}{R^{2}} = m\frac{v^{2}}{R}$，解出$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$。题目已知半径$R$，但没告诉$GM$，所以要利用已知条件求$GM$。已知在星球表面竖直上抛物体落回手中时间为$t$，根据竖直上抛知识，物体上升到最高点速度为$0$时时间为$\frac{t}{2}$，由$v_{0} = g\frac{t}{2}$，可求出星球表面重力加速度$g$。
再看思路二，在星体表面附近重力等于万有引力，整理得$GM = gR^{2}$。现在已知星球表面重力加速度$g$和半径$R$，可用$gR^{2}$替代$GM$，得到$v = \sqrt{gR}$，再把$g$代入，就得到最后速度表达式。通过这个题，我们找到计算第一宇宙速度的另一个表达式$mg = m\frac{v^{2}}{R}$，即$v = \sqrt{gR}$，也可用这个表达式计算地球第一宇宙速度。
接下来看第四个问题。之前我们研究的是一个星体绕另一个中心天体做匀速圆周运动，但太空中有些星体并非如此，比如天狼星，是两颗星体互相绕着运动。
设红色这颗星质量为$M_{1}$，黄色这颗星质量为$M_{2}$。它们做匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，且这万有引力是一对相互作用力，所以两颗星向心力相等。在相同时间内，它们转过相同角度，即$\theta$一样，根据$\omega = \frac{\theta}{t}$，可知两颗星角速度大小相等。若相同时间转过角度不同，比如黄色星往前一点，此时万有引力不再沿连线指向圆心，不能全部充当向心力，卫星就不能稳定在轨道运行，所以必须在相同时间转过相同角度。
现在来找双星特点并列表达式。对$M_{1}$列表达式，设两颗星之间距离为$L$，则$G\frac{M_{1}M_{2}}{L^{2}} = M_{1}\omega^{2}r_{1}$，这里$r_{1}$是$M_{1}$圆周运动半径。设$M_{1}$半径为$R_{1}$，$M_{2}$半径为$R_{2}$，对$M_{2}$有$G\frac{M_{1}M_{2}}{L^{2}} = M_{2}\omega^{2}R_{2}$，且$R_{1} + R_{2} = L$，三个式子联立可解出$R_{1}$和$R_{2}$。
看一道例题，两颗星绕某中心转动，已知恒星质量$M_{1}$为$m$，$M_{2}$为$5m$，两颗星之间距离为$L$，求它们的轨道半径$R_{1}$和$R_{2}$。根据双星特点，它们向心力相等，即$M_{1}\omega^{2}R_{1} = M_{2}\omega^{2}R_{2}$，又$R_{1} + R_{2} = L$，且两颗星$\omega$一样，式子两边约掉$\omega$，可解出$R_{1} = \frac{5}{6}L$，$R_{2} = \frac{1}{6}L$，解决了第一个问题。
第二个问题求周期，用万有引力等于向心力对$M_{1}$列式：$G\frac{M_{1}M_{2}}{L^{2}} = M_{1}\omega^{2}R_{1}$，把$R_{1} = \frac{5}{6}L$代进去算出$\omega$大小。要算周期，利用$\omega = \frac{2\pi}{T}$就能算出周期$T$大小。
到此双星问题解决了，同学们思考一下，双星问题与前面讲的一个星体绕固定星体做圆周运动有什么联系？前面模型中星体在万有引力作用下做匀速圆周运动，万有引力等于向心力；双星模型同样是星体在万有引力作用下做匀速圆周运动，万有引力也等于向心力。所以虽然模型不同，但本质相同，都是万有引力提供向心力做匀速圆周运动。
双星问题就讲到这里，这一章知识也到此结束。最后一起梳理一下，通过这一章学习了万有引力公式$F = G\frac{M_{1}M_{2}}{r^{2}}$，在此基础上学习了重力和万有引力的关系，并利用万有引力等于向心力解决星体做匀速圆周运动问题。基于以上规律，还探讨了三种宇宙速度和同步卫星。
同学们，今天这节课就到这里，谢谢大家。