师：同学们，今天我们学习人教版数学九年级上册第 25 章概率初步的单元复习，请做好准备。本节课学习目标为：一、理解随机事件及概率的定义；二、能够用列举法计算简单事件发生的概率；三、能够通过重复试验，用事件发生的频率来估计概率；四、通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些简单的实际问题。学习重点是复习概率的重点知识，构建本章知识结构。同学们，通过对本章的学习，大家对本章知识结构、重要知识点及其运用是否有清晰的认识呢？让我们带着下列问题一起梳理总结。
问题一，现实生活中事件的分类有哪些？请想一想。在一定条件下，能确定事件是否会发生的为确定事件，其中一定会发生的为必然事件，一定不会发生的为不可能事件；可能发生，也可能不发生的为不确定事件，也称随机事件。知道了事件的分类，我们回顾课本练习，看看以下分别属于什么类型的事件。
一、通常加热到 100 摄氏度，水沸腾。在通常条件下，这一定会发生，属于必然事件。
二、抛一枚硬币，硬币可能正面向上，也可能反面向上，所以硬币正面向上属于随机事件。
三、篮球运动员投篮一次，可能投中，也可能没投中，所以投中也为随机事件。
四、任意画一个三角形，其内角和是 360 度。因为三角形内角和是 180 度，所以这属于不可能事件。
那么对于随机事件二、三，它们发生的可能性大小能否确定？请同学们回想一下。我们可以通过抛硬币实验或者投篮试验，对随机结果进行统计，找出其中的规律性，进而通过规律性来确定随机事件发生的可能性大小。那我们用什么来刻画随机事件发生的可能性大小呢？我们可以用概率表示事件发生的可能性大小，事件发生的可能性越大，它的概率越接近于 1；事件发生的可能性越小，它的概率越接近于 0。随机事件的概率就在 0 到 1 之间。特别地，必然事件，如通常加热到 100 度，水沸腾，概率为 1；不可能事件，如任意画一个三角形，其内角和是 360 度，概率为 0。
我们已经知道了必然事件和不可能事件的概率，那如何求随机事件的概率呢？如前面提到的，抛一枚硬币正面向上的概率为多少？运动员投篮一次投中的概率又大概为多少？带着这两个问题，我们进行下一步探究。
思考一，抛一枚硬币正面向上的概率为多少？我们知道，抛一枚硬币向上的结果有两种等可能情况，分别为正面向上和反面向上，那么正面向上的概率则为 1/2。我们采用的是列举法，求出抛一枚硬币正面向上的概率。
那么在什么条件下可以通过列举法得到随机事件的概率呢？需要满足两个条件：第一，随机事件的结果为有限个，如抛硬币向上的结果只有两种情况；第二，各种结果出现的可能性相等，如硬币正面向上和反面向上是等可能的。这个时候，我们可以用被关注的结果数 m 除以全部试验结果数 n。如抛硬币，可以用正面向上的结果数 1 除以前部的结果数 2，从而得到随机事件的概率。如果我将抛一枚硬币变成同时抛两枚或 3 枚呢？
同学们继续思考下面的问题，向空中抛两枚质地均匀的硬币，可否用列举法求两枚硬币全部正面向上的概率？同学们，你有什么不同的解法吗？通过前面的学习，我们可以用枚举法来求出。将两枚硬币分别记作 a、b，于是可以直接枚举得到：a 正 b 正、a 正 b 反、a 反 b 正、a 反 b 反四种等可能的结果。其中两枚正面向上的有一种，所以两枚正面向上的概率为 1/4。
你还有其他方法吗？我们还可以用列表法。将两枚硬币分别记作第一枚和第二枚，都有正反两种情况。列表如下，从表格中我们可以看出，同时抛这两枚硬币可能出现的结果有四种，并且它们出现的可能性相等。两枚正面朝上的有一种，所以两枚正面向上的概率为 1/4。
第三种方法，我们还可以采用树状图法。将两枚硬币分别记作第一枚和第二枚，抛两枚硬币可以看成是两步操作。第一枚有正反两种情况，在第一枚为正面的前提条件下，第二枚也有正反两种情况，同理可得反面的情况，画出树状图。由图我们可以知道，所有出现的可能结果数有 4 种，并且它们出现的可能性是相等的，其中正面向上两次的有一种，那么正面向上的概率就为 1/4。
那如果向空中抛掷的是 3 枚质地均匀的硬币，能否求出 3 枚硬币全部正面向上的概率呢？我们发现，抛 3 枚的时候结果数比较多，如果用枚举法容易重复或者遗漏，用列表法又只能满足两步，无法操作两步以上。我们可以用树状图法，因为它能更有条理地进行分析，所以我们选择用树状图法。解答如下，将三枚硬币分别记作第一枚、第二枚和第三枚，可以在刚刚抛两枚的前提条件下再向下加一步，画出树状图。由树状图我们可以知道，所有可能出现的结果共有 8 种，这些结果的可能性是相等的，三枚正面向上的有一种，所以三枚正面向上的概率应该为 1/8。
下面我们一起来总结一下，当实验结果为有限个，并且每种结果发生的可能性相同的时候，我们可以用列举法求概率。用列举法求概率有哪些具体的方法呢？可以用枚举法，但当数据较多的时候，它容易重复或者遗漏；两步可以用列表法；两步及两步以上，我们可以用画树状图法。
那么列举法是否能求出所有随机事件的概率呢？我们来思考前面的第二个问题，运动员投篮一次投中的概率约为多少？是否满足使用列举法的两个条件呢？我们来看看，第一个，运动员投篮一次结果有哪些情况呢？有投中和没投中两种情况，结果数是有限的，满足第一个条件。第二个，每种结果的可能性相等吗？我们无法判断投篮投中和没投中是否具有等可能性，所以我们无法用列举法求出概率。那还有其他方法可以求随机事件的概率吗？你想到了吗？我们还可以用前面学到的用频率估计概率。