师：亲爱的同学们，大家好！很高兴今天和同学们一起学习第15课二次根式的复习。
师：首先，我们来了解本节课的学习目标：进一步掌握化去分母中根号的方法；学会求字母为无理数时代数式的值，并理解求其值的简便方法。本节课将在复习基础上适度拓展和提升。
师：现在，我们先从两道简单的计算题入手：一、$\sqrt{\frac{1}{3}}$；二、$\sqrt{\frac{2}{a}}$ 。在二次根式运算中，结果一般要化为最简二次根式，且分母中不能含有二次根式。观察这两个式子，分母都含有二次根式，那该如何去掉分母中的根号呢？当分母形如$\sqrt{a}$时，一般分子分母同时乘以$\sqrt{a}$。所以，第一题$\sqrt{\frac{1}{3}}$，分子分母同时乘以$\sqrt{3}$，就等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$。
师：第二题，$\sqrt{\frac{2}{a}}$，分子分母同时乘以$\sqrt{a}$，等于$\frac{\sqrt{2a}}{a}$。这里给大家增加点挑战，思考一下，如何计算$\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$呢？计算$\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$，要思考分母乘以什么式子才能不含有根号。大胆猜想，小心求证。分母是$2 - \sqrt{3}$，第一想法可能是对其进行平方，自然会想到完全平方公式：$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$。所以，$(2 - \sqrt{3})\times(2 - \sqrt{3}) = 7 - 4\sqrt{3}$，很遗憾，这里依然含有根号，这个方法不行。那我们换个角度，与平方相关的还有平方差公式：$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$。因此，$(2 - \sqrt{3})\times(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$。太棒了，我们成功化去了根号。所以，计算$\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$，首先分子分母同时乘以$2 + \sqrt{3}$，等于$\frac{2 + \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2}$，结果等于$2 + \sqrt{3}$。
师：进一步思考，若分母为$2 + \sqrt{3}$，又该如何化去根号呢？对，同样运用平方差公式，分子分母同乘以$2 - \sqrt{3}$。在这道题里，我们运用平方差公式化去了分母中的根号。如果分母为两数之差，如$2 - \sqrt{3}$，通常分子分母同乘以这两数之和；如果分母为两数之和，如$2 + \sqrt{3}$，通常分子分母同乘以这两数之差。
师：现在，我们通过一道题检验一下自己，计算$\frac{1}{\sqrt{3} - 1}$。同样运用平方差公式，分子分母同时乘以$\sqrt{3} + 1$，等于$\frac{\sqrt{3} + 1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}$，分母结果等于$2$，最后等于$\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$。完全平方公式和平方差公式是乘法公式中的重要内容。这里我们运用平方差公式成功化去分母中的根号，除此之外，它们在整式乘法乃至代数式的其他运算中也有非常广泛的运用。
师：接下来，我们深入探究。已知$s = \sqrt{3} + \sqrt{2}$，$y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$，求$s^2 + 2sy + y^2$的值。这是一道求多项式的值的题目，最直接的办法就是将$s$、$y$的值直接代入，可以得到这个式子。注意代入的时候要带上括号，然后运用乘法公式、去括号、化简求值，得到答案为$12$。观察整个过程，式子长而复杂，计算量很大。那机智的同学们，你们有其他更简便的方法吗？
生：细心的同学会发现，多项式$s^2 + 2sy + y^2$其实是一个完全平方式，可以先因式分解为$(s + y)^2$。
师：非常好！化简成这样之后，运算会更简便吗？我们来看一下字母的取值，$s = \sqrt{3} + \sqrt{2}$，$y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$，$s + y = 2\sqrt{3}$。这个数值相比$s$和$y$原来的数值更简单，少了一个二次根式。再将其代入$(s + y)^2$，就可以快速得到结果为$12$。
师：对比一下这两个方法，直接代入法直接易懂，但当多项式式子复杂或者字母数值复杂时，计算会很繁琐。而第二种方法结合$s$、$y$的取值，先对式子变形再代入求值，计算简便。既然第二种方法这么巧妙，如果我们熟练掌握，就能大大帮助我们简便计算其他代数式的值。所以，我们不妨进一步探究这个方法。
师：现在我改变一下多项式的结构，将$ + y^2$改成$ - y^2$，该如何计算呢？变式一：已知$s = \sqrt{3} + \sqrt{2}$，$y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$，求$s^2 + 2sy - y^2$的值。直接代入依然很繁琐，考虑对其进行变形。式子中有$s^2$、$y^2$和$sy$项，我们猜想是否可以运用乘法公式来变形。乘法公式有三条，两条完全平方公式以及平方差公式，该选哪一条呢？我们先来分析一下这个式子。完全平方公式去括号后有三项，且$a^2$和$b^2$项符号相同；平方差公式去括号后只有两项，且$a^2$和$-b^2$符号不同。根据这个特点，再来分析这个式子的结构。式子中虽然有三项，但$-y^2$和$s^2$符号不一致，所以变形时完全平方公式不适合，考虑平方差公式。不妨先将$-y^2$和$2sy$交换一下位置，把$s^2 - y^2$和$2sy$分开看。$s^2 - y^2$可运用平方差公式因式分解为$(s + y)(s - y)$。这时候看字母$s$、$y$，惊喜地发现$s + y = 2\sqrt{3}$，$s - y = 2\sqrt{2}$。这两个式子的数值都比$s$、$y$原来的数值更简单，再代入就能很快算出结果，等于$4\sqrt{6}$。