师：同学们好，今天我们一起来复习九年级人教版数学第22章二次函数。这一章内容较多，老师将以数形结合思想为主线，帮助大家回顾基本知识与基本解题方法。具体复习目标如下：
回顾从二次函数解析式得到大致图像的过程，复习求顶点坐标等基本解题方法，加深从数到形的认识。
结合二次函数的图像，回顾二次函数的性质，提升析图能力，深化从形到数的认识。
解决综合问题，强化数形结合思想的理解与运用。
下面进入第一部分复习：从数到形。请看例一，已知二次函数的解析式，由前面学习可知，开口方向与二次项系数相关。此时二次项系数为 -1，小于0，所以开口方向向下。那怎样求出顶点坐标、对称轴、最值以及抛物线与坐标轴的交点坐标呢？同学们不妨动笔计算一下。
首先回顾如何求顶点坐标。求顶点坐标有两种基本方法，第一种是配方法，同学们可跟随老师演示步骤，回顾将一般式化为顶点式的过程。得到顶点式后，就能得出顶点坐标为((-\frac{1}{2},\frac{25}{4}))。同学们注意，若二次函数的二次项系数不为1，最好先化为1再进行配方。
求顶点坐标的第二种方法是公式法，同学们还记得顶点坐标公式吗？我们可通过代入求解，再次强化对公式的记忆。最后同样可得顶点坐标为((-\frac{1}{2},\frac{25}{4}))。有了顶点坐标，就很容易得到对称轴，此二次函数的对称轴为(x = -\frac{1}{2})，与顶点横坐标对应。那求对称轴还有别的方法吗？由前面学习可知，二次函数的图像是轴对称图形，图像上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，这时可利用这两个点的横坐标之和除以2来求出对称轴。如何判断二次函数有最大值还是最小值呢？还是得关注二次项系数的符号，此函数二次项系数为 -1，小于0，所以此函数有最大值，(y = \frac{25}{4})，与顶点纵坐标对应。最后回顾求抛物线与坐标轴交点坐标的过程，求与(y)轴的交点坐标，令(x = 0)，求得(y = 6)，所以此抛物线与(y)轴的交点坐标为((0,6))。求与(x)轴的交点坐标，令(y = 0)，得到一个一元二次方程。解此一元二次方程，可得(x_1 = 2)，(x_2 = -3)，所以此抛物线与(x)轴的交点坐标为((2,0))、(( -3,0))。
有了以上基本信息，就可以在平面直角坐标系内作出此二次函数的大致图像，完成从数到形的转化，图像的直观性能帮助我们更好地理解二次函数的性质。
下面进入第二部分复习：从形到数。请看例2，已知抛物线的图像如图所示，你能从图中读取信息并填空吗？老师将与大家一起解答以下问题，帮助同学们提升将形转化为数的能力。
请看第一小题，二次项系数(a)的符号。由前面学习可知，其与抛物线开口方向相关，由图可知抛物线开口方向向上，所以(a > 0)。一次项系数(b)的符号与对称轴位置相关，由图可知，对称轴在(y)轴右侧，所以(-\frac{b}{2a} > 0)，推理可得(a)、(b)异号，即当(a > 0)时，(b < 0)。抛物线与(y)轴的交点((0,c))在(y)的负半轴，所以(c < 0)。抛物线与(x)轴有两个交点，所以(b^2 - 4ac > 0)。
如果说刚才是看图得符号，那下面回顾看图得范围的过程。请看第2小题，若此抛物线与(x)轴的两交点坐标分别为(A(-1,0))、(B(3,0))。小问一，当(y)随(x)的增大而增大时，(x)的取值范围是什么？我们一起来分析，由前面学习可知，二次函数是轴对称图形，在对称轴右侧，如图红色部分，抛物线从左到右上升，即(y)随(x)的增大而增大。要确定(x)的取值范围，必须知道抛物线对称轴的位置。怎样确定抛物线对称轴的位置呢？我们看到抛物线与(x)轴交于(A)、(B)两点，对称轴是经过线段(AB)的中点并垂直于(x)轴的直线，所以由(A)、(B)的坐标可得对称轴为(x = 1)。这时观察红色部分图像，可得(x)的取值范围为(x > 1)。
下面老师对小问一进行变式，若已知自变量的取值范围，如何判断(y)随(x)的增大而增大还是减小呢？这时同样在图像上找出自变量小于(-1)的对应部分，即如图红色部分图像。这时看到红色部分图像抛物线从左到右下降，所以(y)随(x)的增大而减小。
有了以上回顾，大家应牢牢掌握，二次函数的增减性与对称轴位置相关，结合图像也能分析出(x)的取值范围。我们再来看小问二，当(y < 0)时，(x)的取值范围是什么？我们观察图像，在(x)轴下方部分图像上的点纵坐标都小于(0)，满足(y < 0)这个条件。抛物线与(x)轴交于(( -1,0))、((3,0))，这两点宛如边界锁定了(y < 0)这部分图像的起止，所以读红色部分图像，可知(x)的取值范围为(-1 < x < 3)。
老师对小问2再次进行变式，当(x < -1)或者(x > 3)时，(y)的取值范围是什么？我们观察图像，在(x)轴上方部分图像的点横坐标均小于(-1)或者大于(3)，满足题目要求。这时再次观察红色部分图像，其上点的纵坐标都大于(0)，所以(y)的取值范围为(y > 0)。
有了以上回顾，大家应加深了对二次函数部分图像与自变量、因变量对应范围关系的认识。如果刚才是看图得范围，下面转入到析图比大小的复习。请看第3小题，抛物线的对称轴为(x = 1)，点(P)、(Q)都在抛物线上，要比较这两点纵坐标的大小。显然从题目条件无法求出(P)和(Q)的具体值，这时还是要借助图像帮助我们解决问题。二次函数的图像是轴对称图形，且对称轴为(x = 1)，点(P)和(Q)的横坐标已知。这时不妨在抛物线上描出点(P)和(Q)的大致位置。点(P)的横坐标为(0)，所以点(P)在对称轴左侧，距离对称轴一个单位长度的位置上。点(Q)的横坐标为(\frac{5}{2})，在对称轴右侧，距离对称轴(\frac{3}{2})个单位长度的位置上。描点时注意两点与对称轴的距离关系，现在看图，一目了然，(P < Q)。
为了深化从形到数的认识，老师对第3小题进行变式，保留对称轴为(x = 1)和点(P)坐标这两个条件，把点(Q)的坐标改为((x_0,Q))，把刚才第3小题的结论作为条件，当(P < Q)时，求(x_0)的取值范围。我们一起来分析，因为点(P)的横坐标为(0)，所以点(P)是抛物线与(y)轴的交点，而点(Q)的坐标不确定，即点(Q)在二次函数图像上的位置不确定。题目要求(Q)点的纵坐标大于(P)，也就是说点(Q)应该在二次函数图像上纵坐标为(P)的点的上方。这时不妨把问题转化为先确定图像上纵坐标为(P)的点的位置。
除了点(P)外，在抛物线上还有纵坐标为(P)的点吗？根据二次函数图像的对称性以及对称轴为(x = 1)，可以得到点(P)关于直线(x = 1)的对称点(P_1(2,P))，也就是说在这个抛物线上有两点纵坐标为(P)。这时观察图像就可以确定点(Q)在图像上的大致位置，点(Q)在点(P)和(P_1)上方的图像上，即如图红色部分图像。下面研读红色部分图像，就可以得到(x_0)的取值范围。在对称轴左侧，红色部分图像上的点横坐标小于(0)，所以(x_0 < 0)；在对称轴右侧，红色部分图像上的点横坐标都大于(2)，所以(x_0 > 2)。因此(x_0)的取值范围为(x_0 < 0)或者(x_0 > 2)。
解决完以上问题，我们来归纳一下，通过看图可得系数的符号或特殊取值，通过析图可以得到二次函数的性质。请关注二次函数的对称性与增减性，结合图像和性质，可得到条件下(x)与(y)的对应关系，实现从形到数的转化。完成了从数到形以及从形到数的复习，我们通过解答一道综合问题来强化数形结合思想的理解与运用。
请看第三，抛物线(Y_1 = Ax^2 + Bx + c)中(x)与(y)的部分对应值如下表所示。首先要求出抛物线(Y_1)的解析式。求解析式同学们自然想到待定系数法，而且这里有多组(x)、(y)值，大家会想到选取其中3组对应值代入到一般式建立方程组来求解。也许同学们所选的点跟老师会不一样，大家对照一下，可否能够解出(a = -1)，(b = 2)，(c = 3)，从而得到此抛物线的解析式为(Y_1 = -x^2 + 2x + 3)。
同学们思考一下还有没有别的方法？这时不妨把(x)、(y)的对应值在平面直角坐标系内描出对应的点，作出抛物线的大致图像。这时可以大胆猜想((1,4))为此抛物线的顶点。那如何验证((1,4))为抛物线的顶点呢？我们再次细致观察图表中的数据，会发现当(x = 0)或者(2)时，(y)均为(3)，即这两点关于对称轴对称，((0 + 2)÷2 = 1)，也就是说对称轴为(1)，这时就可以推理验证出((1,4))为此抛物线的顶点。那我们可以把((1,4))代入到顶点式，再选取其中一对(x)、(y)的对应值，求出二次项系数为(-1)，从而得到抛物线的解析式。对比一下，这时的运算量比刚才代入到一般式要少。这提示我们在动笔解答之前要细心读题，全面分析，也许能找到更优更快的解题方法。下面我们来解决综合问。
题目要求我们解决将抛物线向右平移(n)个单位之后，平移后抛物线的对称轴与已知直线(Y_2 = x + 1)交于点(N)，且点(N)要在平移后抛物线顶点的上方，求此时(n)的取值范围。题目较长，我们不妨利用图像的直观来帮助理清题意。这时可在平面直角坐标系内作出已知的抛物线以及直线的图像。
观察图像，我们发现抛物线平移前，对称轴与直线的交点在顶点下方。现在把抛物线平移，发现点(N)沿着直线(y = x + 1)上升，平移一定距离之后，点(N)就会在平移后顶点的上方，也就是说点(N)的纵坐标要比平移后顶点的纵坐标大。这时不妨把问题转化为分析点(N)的坐标以及平移后顶点的坐标。
由第一小题可知，此抛物线的顶点为((1,4))，抛物线向右平移(n)个单位之后，顶点坐标为((1 + n,4))，即对称轴为(x = 1 + n)。而点(N)是对称轴与直线的交点，所以点(N)的横坐标也为(1 + n)。把(1 + n)代入到(y = x + 1)，可得点(N)的纵坐标为(n + 2)。也就是说(n + 2 > 4)，解出(n > 2)，所以(n)的取值范围为(n > 2)。
同学们请书写解答过程，书写完后与老师的对照一下，看哪些地方需要进一步完善。
解决完以上综合问题，我们对本节课进行小结。已知二次函数的解析式，通过计算求解可得到顶点坐标等基本信息；已知二次函数的图像，可观察分析得出二次函数的性质。结合图像整体与部分的对应关系，可得到(x)与(y)取值范围的对应关系。二次函数图像与(x)轴的交点横坐标与一元二次方程的根对应，抛物线与(x)轴三种位置关系对应一元二次方程三种根的情况，同学们可根据老师归纳的图表再次进行复习。由二次函数的解析式，可算出(x)、(y)的对应值转化为坐标描点，作出二次函数的图像，实现从数到形的转化；也可利用二次函数图像上的点，通过待定系数法求出解析式，实现从形到数的转化。解析式能精准表达(x)与(y)数量上的对应关系，二次函数图像能直观反映(x)与(y)的变化趋势。我们把数和形结合在一起，就能借助二次函数的图像与性质来解决综合问题和实际问题。同学们可自行再进行练习，再次巩固这一章内容。课程已结束，谢谢观看。