师：亲爱的同学们，大家好！在学习人教版八年级下册第16章16.1第三课“二次根式的性质”之前，我们先来看本节课的学习目标。第一，理解二次根式的两个性质；第二，能根据算术平方根的意义归纳出性质，并依据性质进行运算。接下来，让我们一起进入本节课的学习。
这里有5个数字，它们谁能顺利通过两扇门进入客厅呢？这两扇门分别是算数平方根之门和平方之门。比如说，0进入算数平方根之门，即求0的算数平方根，得到0，再进入平方之门，0的平方还是0，这样就进入客厅了。1进入算数平方根之门，根号1得到1，再进入平方之门，1的平方得到1，也到达客厅。1/4进入算术平方根之门，根号1/4算得1/2，1/2再进入平方之门，得到1/4，同样到达客厅。而 -4和 -1却不能进入客厅，因为它们连第一扇算数平方根之门都进不去。由此我们发现，能进入第一扇门的数一定是非负数。而且，我们还注意到，进入两扇门的数字和到达客厅的数字是相同的。那么，根据从特殊到一般的研究方法，能否用字母来概括这个规律呢？
我们把原来的数字记为a，进入算术平方根之门的数就是根号a。要注意，这里a一定要大于等于0，这是二次根式有意义的前提条件。根号a再进入平方之门，就得到（根号a）2 。由于前面的观察，我们猜想（根号a）2 = a，这里a同样是非负数。那是不是所有非负数都符合这个猜想呢？来看这四个例子：4的算术平方根的平方是多少？根号4等于2，2的平方是4；根号0的平方，0的平方是0；根号2的平方呢？因为根号2是2的算术平方根，也就是平方等于2的非负数，所以根号2的平方等于2；同理，根号1/3是1/3的算术平方根，表示平方等于1/3的非负数，所以根号1/3的平方等于1/3。由此可见，这两个开方开不尽的数也符合刚才的猜想。
我们不仅能从算术平方根的意义去验证这个结论，还能通过几何图形的意义来理解。比如，正方形面积为a，它的边长就是根号a，面积用边长乘边长表示就是（根号a）2 ，又因为正方形面积是非负的，这再次验证了这个结论的正确性。其实，这个结论就是课本上二次根式的性质一：（根号a）2 = a（a≥0），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。这里a必须是非负的，因为它要满足二次根式有意义的前提条件。
假如这些数字在客厅想沿路返回，依次通过平方之门、算术平方根之门，那会怎样呢？我们把客厅里的数字记为a，进入平方之门的数字就是a2 ，再进入算术平方根之门，就是根号下a2 。现在，把a分别等于2、1/3、0代入进去看看。22再开方，根号下22 ，22等于4，4的算术平方根是2；1/3的平方的算术平方根，1/32 等于1/9，1/9的算术平方根是1/3；根号下02 ，02 是0，0的算术平方根是0。通过观察发现，平方之后再开方的运算结果等于它本身。
所以我们可以归纳出这个结论：一个数的平方的算数平方根等于它本身，但这里a要大于等于0。那a能不能是负数呢？如果a是负数，计算结果又是多少？比如把2变成 -2，1/3变成 -1/3，这个问题就留给学有余力的同学课后研究。其实，根号下a2 就是课本上的性质二。
我们把这两个性质放在一起对比，它们的结构很相似，容易混淆。相同点是：性质一和性质二都含有平方和算术平方根的运算，条件都是a≥0，结论都等于a。不同点在于：性质一的平方在外面，代表a的算术平方根的平方，是先开方再平方运算；性质二的平方在里面，代表a的平方的算术平方根，是先平方再开方运算。