师：今天我们学习 2.3 实际问题与二次函数第一课时，先了解一下学习目标。一、能够把实际问题抽象成二次函数关系，并能运用二次函数的图像和性质解决实际问题。二、能运用数学知识解决实际生产生活中出现的问题。学习重点是运用二次函数的图像和性质，求实际问题中的最大最小值。温故而知新，我们回顾梳理一下学过的知识。二次函数的概念，一般形如 y = ax2 + bx + c（a、b、c 是常数，a ≠ 0）的函数叫做二次函数。其中 x 是自变量，a、b、c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。二次函数的图像是一条顶点坐标为（ -$\frac{b}{2a}$ ，$\frac{4ac - b2}{4a}$ ）的抛物线。看以下练习，以下抛物线有最高点或最低点吗？有的话，写出这些点的坐标。y = 3x2 + 2x，因为 a = 3 ＞ 0，开口向上，抛物线有最低点。方法一，我们可以将解析式化为顶点式，得到顶点坐标（ -$\frac{1}{3}$ ， -$\frac{1}{3}$ ）。方法二，由解析式可得 a = 3，b = 2，c = 0，代入顶点坐标公式同样可以得到顶点坐标是（ -$\frac{1}{3}$ ， -$\frac{1}{3}$ ）。熟练掌握二次函数的图像与性质，能帮助我们将实际问题转化为函数问题来解决。请先看问题一。从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h 与运动时间 t 之间的关系式是 h = 30t - 5t2（0 ≤ t ≤ 6）。问小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？关系式 h = 30t - 5t2 表示的是小球的高度 h 与运动时间 t 之间的数量关系。我们将解析式整理一下，发现 a = - 5 ＜ 0，抛物线开口向下，h 表示点的纵坐标，小球最高即点的纵坐标最大，在图像上是图像的最高点。那么如何找到函数图像的最高点呢？当 a ＜ 0 时，抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点是最高点。这是形的特征，数的特征是当 x = -$\frac{b}{2a}$ 时，二次函数 y = ax2 + bx + c 有最大值，值为 y = $\frac{4ac - b2}{4a}$ 。
对于问题一的抛物线开口向下，h = - 5t2 + 30t（t ≥ 0，t ≤ 6），自变量有取值范围，它的最高点怎么找呢？这时我们要判断对称轴 x = -$\frac{b}{2a}$ 与取值范围之间的相对位置。当取值范围在对称轴的左侧，它的图像是抛物线在对称轴左侧的一部分，它的最高点在相应位置；当取值范围在对称轴的右侧，它的图像是抛物线在对称轴右侧的一部分，它的最高点在相应位置；当 x = -$\frac{b}{2a}$ 的值属于取值范围，这三种情况的最高点都是它们的顶点。那么问题一中 h = 30t - 5t2（t ≥ 0，t ≤ 6），它的对称轴得到 t = 3，在取值范围之内，它的最高点是顶点，顶点纵坐标怎么求呢？我们可以通过代入顶点坐标公式得到 h = 45，所以小球运动时间是 3 秒时，小球最高，小球运动中的最大高度是 45 米。除了用顶点坐标求抛物线的最高点之外，我们还可以用配方法，h = - 5×(t - 3)2 + 45，同样可以得到 t = 3 属于取值范围，抛物线的顶点是最高点，h = 45 是最大值，得到问题的解答。
有同学会问，如果不将解析式进行变形整理，还有其他方法吗？我们发现解析式 h = 30t - 5t2 常数项为 0。是的，有同学发现可以用因式分解的方法。用什么方法因式分解呢？可以用提公因式法。公因式是哪个呢？公因式是 - 5t，将解析式提 - 5t，得到 h = - 5t×(t - 6)（t ≥ 0，t ≤ 6），这个结构大家熟悉吗？这是我们以前学过的 y = a(x - x?)(x - x?) 的结构。由这个结构我们可以得到什么结论呢？我们很快可以得到图像与横轴的交点是(0, 0)、(6, 0)，画出示意图。由抛物线的对称性，我们可以得到对称轴 t = $\frac{0 + 6}{2}$ = 3，t 在取值范围内，最高点是抛物线的顶点，那么顶点的纵坐标一定要代入顶点纵坐标公式求得吗？不一定，我们也可以将 t = 3 代入解析式求得 h = 45，同样得到问题的解答。下面让我们来看一下问题二，足球被从地面踢起，它距地面的高度 h 可以用公式 h = - 4.9t2 + 19.6t 来表示，其中 t 表示足球被踢出后经过的时间。问足球在踢出的 3 秒内距地面的最高高度是多少米？足球多少秒后落地？解析式 h = - 4.9t2 + 19.6t，a = - 4.9 ＜ 0，抛物线开口向下。题目中指出 3 秒内，说明自变量 t 有取值范围，t ≥ 0，t ≤ 3。求它的最高度应该是抛物线的顶点吗？同样，与问题一类似，我们要先找到对称轴。t = 2 在取值范围内，抛物线的顶点是它的最高点。再利用顶点纵坐标的公式求出 h = 19.6，我们可以得到足球在踢出后 3 秒内距地面的最高高度是 19.6 米。