师：今天我们一起来学习一元二次方程解法的习题课。这节课的学习目标是：一、复习一元二次方程的不同解法；二、根据方程的特征学会选用恰当的方法。重点是学会熟练地解一元二次方程。
首先，我们通过一组填空题来复习引入。
第一题，求这个方程的根，需用到直接开方法。先把方程的常数项移到等号右边，再把方程未知数的系数化为 1，接着直接开平方，就可得到方程的根为(X_1 = \frac{3}{5})，(X_2 = -\frac{3}{5}) 。
第二题，将方程化为((x + h)^2 = k)的形式。先把方程的常数项移到等号右边，接着在方程左右两边同时加上一个常数，这个常数是一次项系数一半的平方，也就是((\frac{1}{2})^2) ，最后得到结果((x + \frac{1}{2})^2 = \frac{17}{4})。
第三题，判断方程根的情况，要用到根的判别式。(\Delta = (-\sqrt{2})^2 - 4×1 = -2 < 0)，所以原方程无实数根。
第四题，求方程的根，用因式分解法把方程因式分解为(x(x - 1)=0) 。考虑(x = 0)或者(x - 1 = 0)，就可求得方程的根为(X_1 = 0)，(X_2 = 1)。
通过这几道题，我们复习回顾了一元二次方程的解法，有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。接下来继续深入学习，看这几个方程，同学们自己试着解一下。
第一题，这道题有好几种解法。首先可把这个方程化为一般式，接着考虑公式法，(\Delta = 36 > 0)，用求根公式写出方程的两个根，(X_1 = 4)，(X_2 = -2)。这道题还可以用配方法，把方程的常数项移到等号右边，接着把方程两边同时加上 1，就可配方得到((x - 1)^2 = 9)，左右两边开平方得到(x - 1 = ±3)，进而求出方程的两个根。这道题还能用因式分解法，观察原方程，左边可用平方差公式进行因式分解，右边提取公因式后得到(2(x + 2))。发现方程左右两边都有(x + 2)这个因式，把整个方程右边的部分移到等号左边，提出公因式(x + 2)，因式分解得到((x - 2 - 2)(x + 2)=0)，考虑(x - 4 = 0)或者(x + 2 = 0)，求出方程的两个根。
这道题三种方法都很便捷，同学们你选的是哪种方法呢？小结一下，一元二次方程化为一般式后，可以考虑配方法或者公式法。根据题目的特征，还可以考虑因式分解法。
我们再来看第二题，观察方程，左边是两个因式的乘积，但方程右边不是 0，应去括号化为一般式，接着可以考虑公式法或者配方法。看这个一般式，二次项系数为 1，一次项系数是偶数。把方程的常数项移到等号右边，接着左右两边同时加上(7^2)，就可配方得到((x - 7)^2 = 1)，开方后(x - 7 = ±1)，进而求出方程的两个根。如果同学们化为一般式后选择公式法也是可以的，看根的判别式，(\Delta = (-14)^2 - 4×1×48)，这里计算有点麻烦，但耐心计算也能得出相同结果。小结一下，方程化为一般式后，二次项系数为 1，一次项系数是偶数的时候，可以考虑配方法。
再看第三题，观察题目特征，方程右边提取公因式后得到因式(2(2x - 5))，刚好方程左边也有这个因式，显然用因式分解法比较快捷。把方程右边全部移到等号左边之后，提出公因式(2x - 5)，因式分解为((x - 2)(2x - 5)=0)。考虑(x - 2 = 0)或者(2x - 5 = 0)，求出方程的两个根。如果有的同学没观察出可用因式分解法求解，可以把方程去括号化为一般式，也能求出答案。同学们看这里的计算过程，对比可知因式分解法步骤略少，计算不易出错。小结一下，这里用因式分解法比较简便，同学们平时要多留意可以用因式分解法求解的方程特征，常用的因式分解方法有提取公因式法、平方差公式和完全平方公式。
再看第 4 题，观察方程可用直接开方法，先把方程常数项移到等号右边，再把平方部分的系数化为 1，接着左右两边开平方，得到(x + 1 = ±\sqrt{8})，即可求得方程的两个根。同学们思考一下，什么样的方程用直接开方法比较方便呢？之前做过一个填空题，形如(ax^2 + c = 0)，或者像这道题型如(ay^2 + c = 0)，其中(y)代表含未知数的代数式。另外，用直接开方法不是第一步就直接开方，应该先移项，把平方项的系数化为 1。
好，学习完这几道题，同学们思考一下解一元二次方程有哪些策略呢？首先可以考虑直接开方法和因式分解法，因为这两种方法对方程的形式有一定要求。第一，形如(ax^2 + c = 0)，或者(ay^2 + c = 0)这样的方程用直接开方法，例如前面学过的方程。第二，考虑因式分解法，运用常用方法进行因式分解，得到(ab = 0)的形式，例如刚刚碰到的用因式分解法的方程，常用的因式分解方法有提取公因式法、平方差公式，还有完全平方公式。如果上面方法行不通，把方程化为一般式，考虑配方法和公式法，这两种方法都需把方程先化为一般式。如果方程比较容易配方得到((x + h)^2 = k)的形式，就用配方法。另外，所有方程都可以用公式法。
接下来，用刚刚学到的方法解决下面一组练习，请同学们暂停 6 - 8 分钟，尝试解下列方程。
第一题，方程中系数含有无理数，可以考虑用公式法，根的判别式(\Delta = (2\sqrt{5})^2 - 4×1×10 < 0)，所以原方程无实数根。这里其实也可以用配方法，二次项系数为 1，一次项系数刚好是(\sqrt{5})的两倍，所以可把原方程配方得到((x + \sqrt{5})^2 = -5)，这与((x + \sqrt{5})^2 ≥ 0)矛盾，所以原方程无实数根。这道题用公式法和配方法都可以，这里的配方很巧妙，给解题带来新思路，以后碰到类似情况也可用配方法。
第二题，方程左边是平方的形式，方程右边提取公因式后可分解得到(-3(x - 2))，左右两边有相同因式，所以可运用因式分解法，把等号右边部分全部移到等号左边，因式分解得到((x - 2 + 3)(x - 2)=0)，考虑(x + 1 = 0)或者(x - 2 = 0)，求得方程的两个根。如果同学们没观察出可用因式分解法，可以去括号化为一般式，然后用求根公式法求出方程结果。小结一下，该方程用因式分解法最简便。如果不擅长因式分解法，将方程化为一般式，考虑公式法或者配方法也可求解。
第三题，观察方程，用因式分解法比较困难，果断选择去括号化为一般式，接着考虑公式法，根的判别式(\Delta = 4^2 - 4×2×(-5) = 56 > 0)，接着用求根公式写出方程的两个根，记得最后的结果要化简。小结一下，碰到用因式分解法比较困难时，应去括号化为一般式后选择公式法，记得最后结果要化简。化为一般式后，如果选择配方法要把二次项系数化为 1，这里用配方法就比较麻烦，所以不建议大家用配方法。
第四题，观察方程，左右两边都是完全平方，可以考虑两边同时开平方，注意开方后(x - 3)与(2x - 5)可能相等，也可能互为相反数。考虑这两种情况就可求得方程的根为(X_1 = 2)，(X_2 = \frac{8}{3})。这道题还可以考虑整体法进行因式分解，把方程右边全部移到等号左边，然后运用平方差公式进行因式分解。这里两个中括号里面分别是两个整体的差和两个整体的和，化简之后得到((-x + 2)(3x - 8)=0)，进而求出方程的根。这里注意运用整体思想，用直接开方法或者因式分解法都可以，不提倡同学们去括号化为一般式，因为容易出错。
接下来看这个综合创新题，同学们观察题目，这不是一个一元二次方程，它有两个未知数，但发现(a + b + 1)这个式子在两个地方出现，我们可以用换元法，令(a + b + 1 = x)，则原方程可化为(x^2 - 6x + 9 = 0)，进而得到((x - 3)^2 = 0)，可求得(X_1 = X_2 = 3)，则(a + b = 2)。
这节课的例题和习题都完成了，我们整体小结一下。解一元二次方程的基本方法有四种：直接开方法、配方法、求根公式法、因式分解法。解一元二次方程时如何灵活选择方法呢？一、先考虑直接开方法或者因式分解法，因为这两种方法需要方程满足一定特征。二、考虑整理方程化为一般式，用配方法或者公式法。任何时候都可以使用公式法，使用时要注意先把方程化为一般式。
今天的习题课讲到这里，谢谢大家的观看，再见。