师：同学们好，今天我们一起学习六年级下册第4单元第13课的内容，请准备好上课所需的学习用品。下面我们来看今天的学习目标，之后正式开始上课。同学们，在之前的学习中，我们认识了正比例和反比例的意义，知道这两种比例关系可以用表格、关系式和图像来表示，还学会了借助正比例关系图像解决一些简单问题。那这两种比例关系之间有什么异同点呢？我们来对比一下。
先说说相同点，无论是正比例还是反比例，研究的都是两种相关联的量之间的变化关系。这两种量在变化过程中，隐藏着一个不变的量。如果这个不变的量是它们的比值，那么这两种量就成正比例关系；如果这个不变的量是它们的乘积，那么这两种量就成反比例关系，这就是它们的不同点。
还有吗？通过表格的数据变化，我们可以发现，正比例关系中两种量的变化方向相同，而反比例关系中两种量的变化方向刚好相反。通过对比，我们对正比例和反比例的认识更加清晰了。下面我们通过练习来进一步巩固。
上一节数学课，黄老师提到，在我们学过的计算公式和常见数量关系中，可以找到正比例和反比例。大家还记得吗？在我们熟悉的单价、数量、总价这三种相关联的量中，能否找到这样的关系呢？我们知道，单价×数量 = 总价。当总价一定时，数量和单价就成反比例关系。还能找出其他比例关系吗？我想有同学已经想到了，当单价一定时，总价和数量就成正比例关系。还有吗？当数量一定时，总价和单价同样成正比例关系。
像这样的例子还有很多，比如，底×高 = 平行四边形的面积。当平行四边形的面积一定时，底与高呈反比例关系；当底一定时，平行四边形的面积与高呈正比例关系；当高一定时，平行四边形的面积与底呈正比例关系。
再看每组人数、组数、全班人数，它们之间有什么关系呢？每组人数×组数 = 全班人数。当全班人数一定时，组数和每组人数就成反比例关系；当每组人数一定时，全班人数与组数成正比例关系；当组数一定时，全班人数与每组人数成正比例关系。仔细观察这三组关系式，有什么相同的地方呢？
生：都有三种相关联的量。
师：是的。如果用x、y、z来表示这三种量的话，那么它们都有x×y = z这样的关系。这个乘法式子可以改写成两个除法式子，即z÷x = y，z÷y = x。而除法可以写成比的形式，你们看，当z一定时，y与x呈反比例关系；当x一定时，z与y呈正比例关系；当y一定时，z与x呈正比例关系。也就是说，三种相关联的量如果符合这样的条件，那么当乘积一定时，另外两种量成反比例关系；如果其中一个因数一定时，另外两种量成正比例关系。判断两种量是否成正比例或反比例关系时，一定要以某一个不变量为前提哦。
同学们还记得判断是否成正比例或反比例关系的要点是什么吗？
生：首先要看两种量是否相关联，然后再判断相对应的两个数的比值或乘积是否一定。
师：你记住了吗？那下面我来考考大家。请判断，第一小题，车轮所需转动的圈数与车轮的周长是相关联的量吗？当自行车行驶同样的距离，如果车轮大，需要转动的圈数就少；如果轮子小，需要转动的圈数就多。所以车轮所需转动的圈数和车轮的周长就是两种相关联的量。
我们再看它们之间的数量关系，判断一下它们的乘积是一定的吗？细心审题的同学会发现，题目中说自行车通过的是一座200米的桥，这座桥长度固定，也就是说自行车行驶的路程是一定的。所以车轮所需转动的圈数与车轮的周长呈反比例关系。
我们再来看第2小题，y与x是两种相关联的量吗？在这个等式当中，可以判断y与x是两种相关联的量。那它们究竟是否成比例呢？我们先来看看它们的比值。根据比例的基本性质，原来的等式可以改写成比例的形式，记得检查一下比例写对没，看外项的乘积和内项的乘积刚好和原等式相同，说明我们的改写是对的。
现在y与x之间的关系是不是一目了然？y∶x = 3/5，这个比值是一定的，所以判断y与x成正比例关系。
下面我们来看看第三题，正方形的面积和边长是相关联的量吗？边长变长，面积也会随着变大；边长变短，面积也会跟着变小，它们是两种相关联的量。这时候有同学可能会想，这两种量的变化方向一致，符合成正比例关系的两种量的变化规律，也就是它们肯定不成反比例关系。
那正方形的面积与边长是不是就成正比例关系呢？别着急下结论，我们借助正方形的面积计算公式来分析，正方形的面积 = 边长×边长。为了更清晰看出边长和面积这两种量的关系，我们可以把这个等式两边同时除以边长，就变成正方形的面积÷边长 = 边长。正方形的面积与边长的比值一定吗？很显然它们的比值是边长，是一个变化的量，所以正方形的面积和边长不成比例关系。