师：亲爱的同学们，大家好！今天我们一起来学习人教版八年级下册第17章17.2第二课勾股定理及其逆定理的应用。我们先来明确本节课的学习目标：一、能用勾股定理及其逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；二、能用勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题。
上一节课我们学习了勾股定理的逆定理，这是从边的视角得到直角三角形的一种判定方法。运用勾股定理及其逆定理判定一个三角形是否为直角三角形，判定方法是先计算两条较小边长的平方和，再计算最大边长的平方。如果相等，则这个三角形是直角三角形；如果不相等，则这个三角形就不是直角三角形。
我们现在来看这个问题：已知三角形ABC中，AC等于3，BC等于4，AB等于5，请判断这个三角形是否为直角三角形，并说明理由。
生：显然这个三角形是直角三角形。理由如下，因为两条较小边长的平方和等于32 + 42 = 9 + 16 = 25，而最大边长的平方为52 = 25，所以32 + 42 = 52。根据勾股定理的逆定理可以判定这个三角形是直角三角形。
师：非常好。再来看以下三道题，例一、判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形。我们先来看第一小题。
生：两条较小边长的平方和为62 + 82 = 36 + 64 = 100，而最大边长的平方为102也等于100，所以62 + 82 = 102。根据勾股定理的逆定理可以判定这个三角形是直角三角形，且最大边b所对的角是直角。
师：很好。第二小题呢？
生：两条较小边长的平方和为132 + 142 = 169 + 196 = 365，而最大边长的平方为152 = 225，所以132 + 142 ≠ 152。根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形。
师：正确。第三小题呢？
生：两条较小边长的平方和为12 + (√3)2 = 1 + 3 = 4，而最大边长的平方为22 = 4，所以12 + (√3)2 = 22。根据勾股定理的逆定理可以判定这个三角形是直角三角形，且最大边c所对的角是直角。
师：这里需要注意，给出三角形的三边判断这个三角形是否为直角三角形，如果是，依据是勾股定理的逆定理；如果不是，则依据是勾股定理。像6、8、10这样能成为直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数。请注意，勾股数必须要满足两个条件，首先必须是三个正整数，然后这三个正整数必须能成为直角三角形的三边长。前面我们提到的3、4、5也是勾股数。请思考下面这个问题：我们已经知道3、4、5和6、8、10都是勾股数，它们之间有什么关系呢？
生：6、8、10分别是3、4、5的两倍。
师：没错，其实3、4、5的3倍也就是9、12、15也是勾股数。为什么呢？我们一起验证。
生：因为92 + 122 = 81 + 144 = 225，而152也等于225，所以92 + 122 = 152。根据勾股定理的逆定理可知，9、12、15也是勾股数。
师：于是我们就可以猜想，当k为正整数时，3k、4k、5k也是勾股数。这个猜想是否成立呢？请同学们课后去推理论证。几组常见的勾股数，3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25，这个也请同学们课后去验证。
同学们，前面我们已经学会了用勾股定理解决生活中的很多问题，实际上用勾股定理的逆定理也可以解决一些实际问题，例如在军事和航海上的确定方向和位置。下面我们先来看这个简单问题：A、B、C三地的距离如图所示，AD在BD的正东方向，CD在BD的什么方向？
生：因为题目给出AD在BD的正东方向。显然，如果我们能够求出∠ABC的度数，那么就可以得到CD在BD的方向。又由图可知三角形ABC的三边长，自然我们就会联想到用勾股定理及其逆定理来判定这个三角形是否为直角三角形。因为AB、BC是两条较小边长，AC是最大边长。所以我们就先计算两条较小边长的平方和与最大边长的平方。用数学语言可以这样表述：因为AB2 + BC2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169，AC2 = 132 = 169，发现结果相同，所以得到AB2 + BC2 = AC2。根据勾股定理的逆定理可以判定三角形ABC是直角三角形，且最大边AC所对的角B是直角。又由题目给出AD在BD的正东方向，所以我们可以下结论，CD在BD的正北方向。