师：同学们，大家好。今天我们一起对六年级下册第四单元“比例”进行整理与复习。
请同学们准备好相关学习用品。这是本节课的学习目标，现在我们就进入这节课的学习。同学们翻看本单元的数学书，回忆一下这个单元学过的知识。分别有比例的意义和基本性质、正比例和反比例，以及比例的应用。书本清晰地呈现了本单元的这三个小节。
具体来看，在“比例的意义和基本性质”中，我们分别学习了比例的意义、比例的基本性质和解比例；在“正比例和反比例”小节里，我们学习了正比例和反比例；在“比例的应用”中，我们认识了比例尺、图形的放大与缩小，还学习了用比例解决问题。
像这样，我们根据书本呈现的层次，把整个单元的知识进行了一次简单梳理。根据以往整理知识的经验，有些同学还会寻找知识间的关系。比如在“比例的意义和基本性质”小节里，我们先学习比例的意义，再认识比例的基本性质，然后学习解比例，而解比例的依据就是比例的基本性质，解比例正是比例基本性质的应用。
纵观整个比例单元，我们认识了比例的意义和基本性质，了解了正比例和反比例后，就开始应用这些知识来解决问题。对学过的知识梳理之后再多些思考，这样我们对整个单元的知识结构就会有进一步的了解。
现在我们先从第一部分开始复习。同学们，什么是比例？表示两个比相等的式子叫做比例，是不是立刻联想到以前学习的比了？那么什么是比？比和比例有什么联系和区别呢？请想一想，说一说你打算从哪些方面来找它们的联系和区别。
生：有些同学想到回到书本查看。
师：比和比例的区别很明显，两个数的比表示两个数相除，是两个数的相除关系，而比例实质是一个等式。从组成部分来看，比有两项，比例有四项。它们之间的联系从意义上就能看出来，比是比例的一部分。在形式上，比可以写成分数形式，因此比例也有分数形式，我们用表格整理一下。除此之外，你还想到了什么？
生：有同学想到比和比例都有基本性质。
师：非常好，我们也整理进来。它们各有什么用呢？
生：比的基本性质可以化简比、求比值，比例的基本性质用于解比例。
师：现在请同学们解下面的比例。对于解比例，你想提醒大家注意什么呢？
生：先找比例的外项和内项，根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积，把比相等转化为积相等。
师：第二题，比例的形式和第一题不同，未知项的位置也不同，而且看起来像分数，复杂了一些，其实我们仍然应用比例的基本性质，找到两个外项和两个内项，写出(4X = \frac{1}{2}×\frac{2}{3})这个方程。下面两题分别有两项是小数，你是怎么做的？
生：都是应用比例的基本性质，对比例进行转化之后再解方程。
师：我们来看看具体的解。第一题，方程两边同时除以(5)即可得到(x = \frac{24}{5})，你做对了吗？第二题，(x = \frac{1}{12})，这里你有什么心得要分享呢？
生：能约分的先约分，可以让计算简便。
师：第三题，当我们把方程的右边写成分数式，你有什么发现吗？虽然(1.2)是小数，但根据数据特点，我们仍可以把分子、分母同时除以(3)，对这个分数式进行化简，得到(\frac{2.5}{0.4})。接着，只需要分子分母同时乘(10)即可得到未知项(x = \frac{25}{4})，你的结果也是这样的吗？第四题，这里能够又准又快得出结果的重要步骤是什么？
生：根据数据特点发现(6.5)是(3.25)的(2)倍，可以很快得到(x = 8)。
师：同学们解比例也要养成检验的好习惯哦。这里的解比例还有其他解法吗？
生：以第二小题为例，有同学把左边的比改写成除法算式，再把等式右边的比算出比值，这时根据等式的基本性质就可以求出(x = \frac{1}{12})。
师：在解比例时，我们可以综合运用比的知识灵活解比例。接下来我们继续整理复习正比例和反比例这一部分的内容。正比例、反比例，一字之差，就知道它们既有区别又有联系。现在我们从它们的意义来对比，为了方便对比，我们一边回忆一边将相关内容整理在表格中。正比例和反比例关系中都有两个变化的量，一个量变化，另一个量也随着变化，它们都是关于两种相关联的量之间的变化关系，且变化中都有不变的因素，区别也在于此。在正比例关系中，变化的两个量对应的数值比值一定；在反比例关系中，变化的两个量对应的数值乘积一定。正反比例关系我们还可以用这样的字母式来表示，通过这样的对比，你是否对正反比例关系更加清晰了呢？下面请你来判断每个表中的两个量哪些成比例关系，成正比例关系还是反比例关系，哪些不成比例关系？读一读，想一想，然后做出判断。
首先来看第一题，看这位同学的判断方法，你理解他的意思吗？
生：判断两个量成反比例关系，可以根据这两个量对应的数值算出乘积都是(240)，一定，所以汽车行驶的速度与时间成反比例关系。
师：还可以怎样判断呢？
生：汽车行驶的速度与时间是两种相关联的量，根据常见的数量关系，速度乘时间等于路程。刚刚算出的乘积(240)表示的就是路程，路程是(240)千米一定，也就是速度和时间的乘积一定，所以这种方法也有同样的判断结果。
师：你判断对了吗？第二题，两位同学互换了方法，都判断出圆锥的体积与底面积成正比例关系，你有什么疑问想提吗？
生：这里的数量关系是怎么得到的呢？为什么(\frac{1}{3}h)是一定的呢？
师：我们一起来思考这两个问题。先说说数量关系，这里涉及到圆锥的体积。我们把圆锥的体积公式写出来看，原来是把这个公式根据我们的需要进行变形得到这个数量关系，圆锥的体积比底面积等于(\frac{1}{3}h)。那么(\frac{1}{3}h)是否一定呢？其中圆锥的高是(30)厘米一定，所以(\frac{1}{3}h)也是一定的了，你想对了吗？回顾刚才我们判断的过程，判断两种量是否成正反比例关系，我们是怎样做的？
生：首先要弄清这两种量是否是相关联的量，其次抓住变化的两个量对应的数值比值一定或乘积一定这个关键点，运用数量关系进行判断时，仍要看相关联的两种量是比值一定还是乘积一定。
师：我们继续来看第三题，观察数据。这是一组相关联的量，圆半径增加，圆的面积也随着增加。显然圆的面积和半径不成反比例关系，那么它们之间会不会成正比例关系呢？这位同学判断的结果是不成比例关系。为什么呢？
生：我们根据数据算一算，圆的面积和半径的比值分别是(\pi×2)、(\pi×4)、(\pi×5)，原来比值不是一定的。我们通过圆的面积公式来看看，圆的面积与半径的比值是(\pi r)，这里的半径是变化的量，所以半径的(\pi)倍也是变化的了。这个数量关系也帮助我们解释了通过数据算出的比值为什么不是一定的了。虽然圆的面积随着半径的增加而增加，但我们要特别注意正比例关系中还需要两个变化的量对应的数值比值一定。