师：同学们好，今天我们来学习实际问题与一元二次方程 3——平均增长率问题。下面我们先来看这节课的学习目标。第一，要学会分析简单实际问题中平均增长率或下降率的等量关系，列出一元二次方程，并且能解出相应方程，同时检验结果是否合理。第二，要会利用平均增长率或者下降率的模型，去计算预测简单变化后的数量，体会数学建模思想。本节课学习重点在于学会分析平均增长率或者下降率的等量关系，进而列出相应的一元二次方程。
接下来进入复习引入环节。谁是理财高手？小明上周花了 100 元，本周比上周多花 10%，本周花了多少元？预计下周比本周多花 10%，下周预计会花多少元？我们来做个理财分析，求本周花的钱数，用 100 加上增长的部分 100×10%，化简后得到 110 元。预测下周花的钱数，借助本周花的 110 元，加上增长部分 110×10%，化简后得到 121 元。
整个问题的解决思路是，已知上周的花费，求出本周花费，再预测下周花费。如果老师把这个问题做如下变式：每周比上周多花 10%，同样可以用刚才的思路，已知上周求出本周，再预测下周，刚才的过程依然能解决这个问题。但老师做这个变式真正的用意并非如此。大家会发现，这道题没要求求出本周花了多少，是不是有更简单的办法呢？答案是肯定的。
这里老师借助刚才的过程做如下处理：求本周花多少时，把 100 作为公因式提取出来，用文字表达就是上周所花乘以（1 + 增长率）的和。求下周花多少时，同样利用这个数量关系，只是上周所花变成用 100×（1 + 10%）取代，再乘以（1 + 10%）的和，整理后得到 100×（1 + 10%）2。用文字表达就是上周所花乘以（1 + 增长率）的平方。整个问题采用了特殊思路，已知上周直接通过二次增长求出下周花费，是不是简单多了？而且这个问题的解决很有规律，利用 100 与增长率的特殊关系就能求解。
如果老师把上周已花的 100 改为 a，本周花了以及下周会花应该怎么表达呢？只要把 100 用 a 取代，就可对应求出本周花了 a×（1 + 10%），下周会花 a×（1 + 10%）2。
如果再把 10%用 x 来取代，要求本周花了，就是 a×（1 + x），下周会花就是 a×（1 + x）2。这样我们就得到了一次增长后以及二次增长后数量的表达式，是不是很有规律？这就是今天要讲的第一个重要模型——平均增长模型。我们来看这个模型的应用条件：如果起始量为 a，增长率为 x，且每一次的增长率都相同，那么一次增长后的量就是 a×（1 + x），二次增长后的量就是 a×（1 + x）2。这就是我们今天要掌握的第一个模型，平均增长模型，它主要由 a 和 x 决定。
下面我们用这个模型去解决实际问题。请同学们认真审题，圈出关键词，找出数量关系。我们要关注的关键词有：2019 年 6 月这个时间节点，“近 2 万辆”，以及“这两年投放增长率均为 x”，这与我们刚才讲的平均增长模型应用条件基本符合。题目要求 2020 年 6 月的投放量，这是一次增长问题，找到模型中的起始量 a 为 2，所以答案就是 2×（1 + x）。到了 2021 年 6 月，是二次增长问题，利用增长模型，答案就是 2×（1 + x）2。
如果老师让你解决第三个问题，细心的同学会发现，第二问和第三问时间节点一样，所以第三问的 2.88 万就和第二问的 2×（1 + x）2有等量关系。根据这个等量关系，我们列出一元二次方程。下面我们来看如何用这个一元二次方程解决平均增长模型的问题。
首先解设这两年投放单车的平均增长率为 x，依题意得到刚才的一元二次方程。根据这个方程的特点，用直接开平方方法解决最快。我们会得到两个解，其中有一个不符合题意要舍去。最后作答时要特别注意，因为求的是增长率，所以要写成百分比的形式。
现在我们看看用平均增长模型解题的完整步骤：首先设平均增长率；其次列出一元二次方程，根据方程特点，一般用直接开平方法求解；得到两个答案后要检查合理性，通常有一个不行；最后作答要写成百分比形式。在求解过程中，因为要求解增长率 x，所以要找到模型中牵涉的数量，以及起始量 a 和终止量 b，大家审题时要注意抓住这些关键信息。
求二次平均增长率问题的思路是：首先审题，找出问题中的等量关系；其次设未知数增长率为 x；接着列出一元二次方程，方程形式是 a×（1 + x）2 = b，这里用的是平均增长模型；然后用直接开平方法求解最快，求解出来一般有两个解，不符合题意的要舍去；最后作答写结论时，如果求的是增长率，记得写成百分比形式。整个思路中最关键的是第三步，要找准起始量 a 和终止量 b 来列出一元二次方程。