师：今天我们要学习二次函数(y = ax^2 + k)的图像和性质。请同学们在草稿本上画出函数(y = x^2)及(y = -x^2)的图像，并在表一中总结形如(y = ax^2)的性质。我们结合图像来总结，当(a > 0)时，函数开口向上，函数有最小值(y = 0)；当(x < 0)时，(y)随(x)的增大而减小；当(x > 0)时，(y)随(x)的增大而增大。当(a < 0)时，函数图像开口向下，函数有最大值(y = 0)；当(x < 0)时，(y)随(x)的增大而增大；当(x > 0)时，(y)随(x)的增大而减小。它们顶点都是((0,0))，对称轴都是(y)轴。
师：在同一直角坐标系中，请同学们画出函数(y = x^2 + 1)与(y = x^2 - 1)的图像。画之前，请完成表2的填写。这里(x)的选取，既取正数、负数，也取(0)。回顾画(y = x^2)图像时，这样选取(x)值，画出的图像比较全面，且图像具有对称性。对于(x = \pm1)，函数(y = x^2 + 1)的函数值都是(2)，我们可初步估计这个函数图像可能关于(y)轴对称，接下来通过具体图像验证猜想。
师：我们来看这三个图像的性质。请同学们指出二次函数(y = x^2 + 1)和(y = x^2 - 1)图像的开口方向、顶点、对称轴、增减性和最值。先看(y = x^2 + 1)，它开口向上，顶点为((0,1))，对称轴是(y)轴；当(x < 0)，(y)随(x)的增大而减小，函数有最小值(y = 1)。其他性质，同学们自行总结体验。
师：画图时思考，抛物线(y = x^2 + 1)、(y = x^2 - 1)和(y = x^2)有何关系？从这几个方面思考：第一，从解析式看，(y = x^2 + 1)、(y = x^2 - 1)与(y = x^2)相比，除常数项不同，其他项完全相同，前两个函数分别多了( + 1)或(-1)。第二，从函数对应值看，对于同一个自变量(x)，(y = x^2 + 1)或(y = x^2 - 1)对应的函数值总是比(y = x^2)对应的函数值大(1)或小(1)。第三，从图像看，图像形状大小相同，抛物线(y = x^2)向上或向下平移一个单位可得到抛物线(y = x^2 + 1)或(y = x^2 - 1)。
师：请同学们结合本课所画图像，在草稿本上画出(y = -2x^2 + 1)、(y = -2x^2 - 1)的图像，总结形如(y = ax^2 + k)的性质。当(a > 0)时，函数开口向上，函数有最小值(y = k)；当(x < 0)时，(y)随(x)的增大而减小；当(x > 0)时，(y)随(x)的增大而增大。当(a < 0)时，开口向下，函数有最大值(y = k)；当(x < 0)时，(y)随(x)的增大而增大；当(x > 0)时，(y)随(x)的增大而减小。它们顶点都是((0,k))，对称轴都是(y)轴。
师：形如(y = ax^2 + k)的抛物线，对称轴一定是(y)轴；反之，对称轴是(y)轴的抛物线，解析式一定形如(y = ax^2 + k)。思考(y = ax^2)与(y = ax^2 + k)有何区别和联系，系数(a)和(k)分别起什么作用？通过学习可知，(y = ax^2)是(y = ax^2 + k)的特殊形式，相当于(k = 0)；系数(a)决定开口方向和大小，(k)决定平移方向和距离。
师：若(k > 0)，将抛物线(y = ax^2)向上平移(k)个单位，得到抛物线(y = ax^2 + k)；向下平移(k)个单位，得到(y = ax^2 - k)。运用所学，完成练习。
师：练习一，来自教材第33页。在同一直角坐标系中画出下列二次函数的图像：(y = \frac{1}{2}x^2)，(y = \frac{1}{2}x^2 + 2)，(y = \frac{1}{2}x^2 - 2)。观察它们的位置关系，分别指出开口方向、对称轴和顶点。以(y = \frac{1}{2}x^2 + 2)为例，它开口向上，对称轴为(y)轴，顶点是((0,2))。其他两个抛物线的性质，同学们自行总结。
师：对于抛物线(y = \frac{1}{2}x^2 + k)，它开口向上，对称轴为(y)轴，顶点是((0,k))，与抛物线(y = \frac{1}{2}x^2)有什么关系？将抛物线(y = \frac{1}{2}x^2)向上或向下平移(\vert k \vert)个单位，就可得到抛物线(y = \frac{1}{2}x^2 + k)的图像。注意，因为不确定(k)的正负性，当(k > 0)时向上平移，(k < 0)时向下平移，平移单位是(\vert k \vert)，保证平移单位非负。
师：练习二，函数(y = -\frac{2}{3}x^2 - 1)，图像开口方向向下，对称轴是(y)轴，顶点为((0, -1))。当(x > 0)时，(y)随(x)的增大而减小。这里所有性质，同学们不要硬记，要根据图像解答。
师：练习三，完成以下3个填空。将抛物线(y = -\frac{1}{2}x^2)向上平移(5)个单位，得到抛物线的解析式为(y = -\frac{1}{2}x^2 + 5)；第2小题，将抛物线(y = x^2 - 4)向上平移(4)个单位，得到的抛物线解析式为(y = x^2)；第三题，将抛物线(y = \frac{1}{3}x^2 + 5)向下平移(12)个单位，得到新的解析式为(y = \frac{1}{3}x^2 - 7)。
师：练习4，写出一个顶点坐标为((0, -3))，开口方向与抛物线(y = -x^2)相反，形状相同的抛物线的解析式。答案是(y = x^2 - 3)。注意，要求的抛物线开口与(y = -x^2)方向相反，形状相同，所以(a = 1)；因为顶点为((0, -3))，所以(k = -3)。
师：练习5，抛物线(y = -x^2)向下平移多少个单位可以经过((3, -14))，并求出这时抛物线的解析式。答案是向下平移(5)个单位，解析式为(y = -x^2 - 5)。设要求的解析式为(y = -x^2 + k)，将该点代入解析式，可求出(k = -5)，所以向下平移(5)个单位，解析式为(y = -x^2 - 5)，大家学会了吗？
师：练习六，对于函数(y = kx + b)，因为它经过第一、二和四象限，所以(k < 0)且(b > 0)。因此二次函数开口向下，顶点在(y)的正半轴，选择(D)选项为正确选项。
师：练习7，更难一点。如图，二次函数(y = ax^2 + c)的图像交(x)轴于(A)、(B)两点，(A)的坐标为(( -1,0))，顶点(C)坐标为((0, -2))。点(D)在(x)轴上，过(D)点作直线(l)垂直于(x)轴，设点(D)的横坐标为(m)，且(m > 1)。同学们先自行思考以下三个小问。
师：第一小问，求二次函数的函数关系式和点(B)的坐标。二次函数经过(A)点和(C)点，将(A)、(C)两点坐标代入解析式，可求得(a = 2)，(c = -2)，所以二次函数的解析式为(y = 2x^2 - 2)。因为点(B)和点(A)关于(y)轴对称，所以(B)点的坐标为((1,0))。
师：第2小题，二次函数(y = ax^2 + c)图像上有点(Q)，当(\triangle ODQ)是以点(D)为直角顶点的等腰直角三角形时，求(m)的值。同学们注意，当(\triangle ODQ)是以点(D)为直角顶点的等腰直角三角形时，(Q)为二次函数与直线(l)的交点。由(OD = m)可得(Q)点的坐标为((m, 2m^2 - 2))，则(2m^2 - 2 = m)，解这个方程得到(m)的两个值，因为(m > 1)，所以(m)的值为(\frac{1 + \sqrt{17}}{4})。
师：第三小题，在直线(l)上有点(P)，(P)在第四象限，使得两个三角形全等，求(P)的坐标。先分析，这两个三角形都是直角三角形，直角顶点为对应点，会产生两种情况。第一种情况是(B)和(P)对应，根据对应线段相等，可求出(m)的值为(3)，所以(P)为((3, -1))；第二种情况为(B)对应(B)，根据对应线段相等可求出(m)的值为(2)，(P)的坐标为((2, -2))。综上，(P)的坐标为((3, -1))或((2, -2))。
师：当堂测评，检验所学。当堂测评一，函数(y = -x^2 - 1)的开口方向向下，对称轴为(y)轴，顶点坐标为((0, -1))。当(x > 0)时，(y)随(x)的增大而减小。同学们还是根据图像得出答案，不要硬记。
师：随堂测评二，如果抛物线(y = (a + 3)x^2 - 5)不经过第一象限，那么(a)的取值范围是？答案是(a < -3)。因为(k = -5)，所以抛物线一定会经过((0, -5))，又因为抛物线不经过第一象限，所以抛物线开口向下，即(a + 3 < 0)，得到(a < -3)。
师：当堂测评三，如图，平行于(y)轴的直线被这两条抛物线所截，将(l)向右平移三个单位，得到(l')，求阴影部分的面积。答案为(6)。因为抛物线(y = \frac{1}{2}x^2 + 1)是由(y = \frac{1}{2}x^2 - 1)向上平移两个单位得到，所以(AB = 2)。如图，要求的阴影面积可转化为平行四边形(ABCD)的面积，下面阴影面积与上面空白部分面积一样。根据平行四边形底为(AB = 2)，高为(3)，求得平行四边形面积为(2×3 = 6)，所以阴影部分面积也是(6)平方单位。
师：归纳小结，本课学习了以下三个方面内容：第一，二次函数(y = ax^2 + k)的函数图像画法；第二，二次函数(y = ax^2 + k)的图像性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值；第三，二次函数(y = ax^2)与(y = ax^2 + k)的图像位置关系。课程到此结束。