师：同学们，今天我们一起来学习九年级人教版数学第 22 章第三节实际问题与二次函数探究二销售中的最大利润问题。我们先来看本节课的学习目标与学习重点。
学习目标：第一，探索实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值或最小值。第二，经历销售中最大利润问题的探究过程，提升运用数学知识解决实际问题的能力。
学习重点：从函数的角度理解销售中售价、成本、利润之间的数量关系，解决销售中何时取得最大利润问题。
下面我们先来看两个小练习。
第一，已知函数(y = -2x^{2} + 4x + 1)，当(x)等于多少时，函数(y)最大值等于多少？求函数的最大值，我们可以直接利用顶点的坐标公式进行代入求解。当(x = -\frac{b}{2a} = 1)时，函数(y)最大值等于(\frac{4ac - b^{2}}{4a} = 3)。所以当(x = 1)时，函数(y)最大值等于(3)。
第二题，某一商品的进价是每个(40)元，以(60)元售出，每个的利润是多少元？若一天售出(30)个，这一天的总利润是多少元？商品销售中，利润等于售价减去进价，所以是(60 - 40 = 20)元。一天的总利润等于单件的利润乘以总的销售量，所以是(20×30 = 600)元。
好，下面我们进行简单的知识小结。
第一，如果(a > 0)，当(x = -\frac{b}{2a})时，二次函数(y = ax^{2} + bx + c)有最小值(\frac{4ac - b^{2}}{4a})；如果(a < 0)，当(x = -\frac{b}{2a})时，二次函数(y = ax^{2} + bx + c)有最大值(\frac{4ac - b^{2}}{4a})。
第二，商品销售中，单件的利润等于单件的售价减去单件的进价；总利润等于总销售量乘以单件的利润，或者等于总销售额减去总成本。
好，下面我们来看一个典型的案例，这是课本第(51)页的练习题。
第(2)题，某种商品的进价为(30)元，在某段时间内，若以每件(x)元出售，可卖出(100 - x)件。应如何定价才能使利润最大？
这是一个销售问题，在这个问题当中，商品的进价为每个(30)元，售价是(x)元，销售量是(100 - x)件。所以我们可以假设定价为(x)元，总利润为(y)元，则(y = (x - 30)(100 - x))。
那么化简得(y = -x^{2} + 130x - 3000)，其中(30\leq x\leq100)。
那么这个自变量(x)它的取值范围是怎样确定的呢？商品的进价是(30)元，所以我们的定价必须要大于或等于(30)，即(x\geq30)。同时销售量是(100 - x)，销售量要大于或等于(0)，所以(100 - x\geq0)，也就是(x\leq100)。所以自变量的取值范围是(30\leq x\leq100)。
因为(y)与(x)是二次函数关系，且二次项的系数(a = -1 < 0)，那么当(x = -\frac{b}{2a} = 65)时，因为(30\leq65\leq100)，所以函数可以取得顶点处的最大值，(y)最大值等于(\frac{4ac - b^{2}}{4a} = 1225)。
那么最后我们答：定价为(65)元时能使利润最大，利润为(1225)元。
好，下面我们再来看一个典型的案例。
某商店购进一批商品，每件进价为(100)元，售价为(130)元，每天可卖出(80)件。商家决定降价促销，根据市场调查，每降价(1)元，每天可多卖出(4)件。
第一，求商家降价前每天的销售利润为多少元。
第二，降价后，如果商家要使每天的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？
好，我们来解决第一个问题。商家每天的销售利润，应该是等于每一件的利润乘以每天的销售量，所以是((130 - 100)×80 = 2400)元。
好，我们来简单分析下第二个问，如果我们假设降价(x)元，每件的售价应是多少？原来售价是(130)元，所以每件的售价应该是(130 - x)元。每天的实际卖出多少件呢？应该是(80 + 4x)件。
这里我们同样要考虑自变量(x)的取值范围，因为利润要大于或等于(0)，也就是(130 - x - 100\geq0)，所以(x\leq30)，所以自变量的取值范围是(0\leq x\leq30)。
好，那么根据这个分析，我们对第二问进行假设每件降价(x)元，每天的总利润为(y)元，则(y = (130 - x - 100)(80 + 4x))。
那么化简得(y = -4x^{2} + 40x + 2400)，其中(0\leq x\leq30)。
根据函数(y)与(x)的关系式，这里二次项系数(a = -4 < 0)，那么当(x = -\frac{b}{2a} = 5)时，因为(0\leq5\leq30)，所以函数可以取得顶点处的最大值，(y = 2500)。
那么定价应该就是(130 - 5 = 125)元。
好，最后我们答：售价定为(125)元时，可使每天的利润最大，利润为(2500)元。
好，下面我们来看本节课的重点内容。课本第(50)页的探究二。
某商品现在的售价为每件(60)元，每星期可卖出(300)件。市场调查反映，如调整价格，每涨价(1)元每星期少卖出(10)件，每降价(1)元，每星期可多卖出(20)件。已知商品的进价为每件(40)元。如何定价才能使利润最大？
这个问题比我们前面所做的两个问题要稍微复杂，因为在这个问题当中出现了涨价和降价两种情况。
简单分析一下，问题当中调整价格包括涨价和降价两种情况，涨价时每件的利润会增加，但总销售量会减少；降价时每件的利润会减少，但是总的销售量会增加。那么哪种情况的总利润更大，我们要进行分类讨论。
下面我们先来看涨价的情况，我们设每件涨价(x)元，每星期售出商品的总利润为(y)元。
那么请看下面的表格，正常销售的时候单件的利润是(60 - 40 = 20)元，销售量是(300)件，所以每星期的总利润是(20×300 = 6000)元。
那么涨价以后，每一件的利润是(20 + x)元，这个时候的实际销售量是(300 - 10x)件，所以每星期的总的利润应该是((20 + x)(300 - 10x))。
所以函数的关系式为(y = (20 + x)(300 - 10x) = -10x^{2} + 100x + 6000)。
这里(x)的取值范围怎样确定？涨价后销售量变为(300 - 10x)，我们要确保销售量大于或等于(0)，所以(300 - 10x\geq0)，即(x\leq30)。所以自变量的取值范围是(0\leq x\leq30)。
那么涨价多少元时，利润最大，利润是多少？
根据函数(y)与(x)的关系式，这里(a = -10 < 0)，那么当(x = -\frac{b}{2a} = 5)时，因为(5)落在自变量的取值范围之内，所以函数可以取得顶点处的最大值。
那么这里我们直接将(x = 5)代入(y = -10x^{2} + 100x + 6000)，得(6250)元。
所以也就是当(x = 5)时(y)最大，也就是说在涨价的情况下，涨价(5)元，即定价为(65)元时，利润最大，利润是(6250)元，这是涨价的情况。
好，下面我们来看降价的情况。同样，我们假设每件降价是(x)元，每星期售出商品的总利润为(y)元。
那么请看下面的表格，降价时每件的利润变为(20 - x)元，这个时候的实际销售量是(300 + 20x)件。所以每星期的总的利润应该就是((20 - x)(300 + 20x))。
那么函数关系式就是(y = (20 - x)(300 + 20x) = -20x^{2} + 100x + 6000)。
同样，我们要考虑自变量(x)的取值范围。商品降价后每件的利润为(20 - x)，我们要确保利润大于或等于(0)，所以(20 - x\geq0)，也就是说(x\leq20)，所以自变量的取值范围是(0\leq x\leq20)。
好，那么根据(y)与(x)的函数关系式，当(x = -\frac{b}{2a} = 2.5)时，因为(2.5)落在自变量的取值范围之内，所以(y)最大值等于(6125)。
当(x = 2.5)时(y)最大，也就是说在降价的情况下降价(2.5)元，即定价为(57.5)元时利润最大，利润是(6125)元。
那么综合两种情况可知，定价为(65)元时利润最大，利润是(6250)元。
好，下面我们小结一下本堂课的知识内容，本节课我们解决的是销售中的最大利润问题。
从几个问题的解决过程我们可以知道，解决最大值的问题都是通过二次函数的知识来解决的，解决的过程分成以下三个步骤。
第一个步骤，先建立函数关系式，建立的依据就是总利润等于每件的利润乘以销售总量。
第二，函数关系式确定以后，我们要确定自变量的取值范围，自变量取值范围确定的依据就是：涨价时要确保销售量大于或等于(0)，降价时要确保利润大于或等于(0)。
最后再确定最大利润的问题，确定的办法我们通常是可以利用配方法或者直接利用顶点的坐标公式代入求解，有时候也可以利用函数的图像性质来求出最大值。
本节课内容对应的是课本(50)页的探究。课堂到此结束，谢谢观看。