师：今天我们一起来复习三角形中的线。首先来看复习目标，理解三角形中线、角平分线、高、中位线的概念，能够画出这四种线，掌握三角形中位线的性质，了解三角形重心的概念，知道三角形的内心、外心，并能画出来。
知识点一、三角形的中线。三角形的中线指的是三角形的一个顶点与对边中点的连线。如图，AD 是△ABC 的一条中线，因为 D 是中点，所以 BD = CD = 1/2BC。△ABD 与△ADC 等底同高，因此它们的面积相等，都等于△ABC 面积的一半。
由图可知，三角形的三条中线交于一点，我们把这个点称之为三角形的重心。请看例一，CD 为△ABC AB 边上的中线，△BCD 的周长比△ACD 的周长多 3 厘米，BC = 8 厘米，求边 AC 的长。这是一道关于线段计算的题目，CD 是中线，所以 AD = BD。我们来看题目中两个三角形周长的构成，CD 是公共边，AD = BD，因此△ACD 和△BCD 周长的差距主要来自于第三边 BC 和 AC 的差。BC = 8 厘米，所以 AC = 8 - 3 = 5 厘米。由此可见，一边上的中线把原三角形分成两个三角形，它们的周长差就等于原三角形其余两边的差。反之，如果知道这两个三角形边长的差，那么它们周长的差也能求出来。
请看例 2。如图，在△ABC 中，D、E 分别是 BC、AD 的中点，△ABC 的面积等于 20，求阴影部分的面积。这道题已知中点求面积之间的关系，我们可以联想中线的性质。因为 D 是 BC 的中点，所以 AD 是△ABC 的中线，那么△ACD 的面积就等于△ABC 面积的一半，即 10。同理，E 是△ADC 的中线，所以△ACE 的面积就是△ADC 面积的一半，等于 5，所以阴影部分的面积就是 5。这道题目连续两次使用三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形，大家可以在理解的基础上记忆这个结论，今后做填空选择会非常便捷。
请看例 3，AD 是△ABC 的中线，求证 AB + AC ＞ 2AD。大家看这道题目的条件很简单，只有中线这个条件，要证的是一个不等式，两条线段的和大于另外一条线段。想一想我们在哪里遇见过这样的结构？对，三角形的三边关系。那么能不能把题目中的三条线段构造在同一个三角形里面呢？AB、AC 已经有了，两倍的 AD 在哪里呢？我们不妨将 AD 延长一倍。
如图，我们延长 AD 到点 E，使得 DE = AD，并把 BE 连起来。看这样会出现什么结果。因为 AD 是中线，所以 BD = CD，又因为 DE 是由 AD 延长而来，所以 DE = AD。同时∠BDE 和∠ADC 是对顶角，因此我们很快可以证明△EDB 和△ADC 全等，这样就得到了 AC = BE。
在△ABE 中，两边之和大于第三边，那么 AB + BE ＞ AE，也就是 AB + AC ＞ 2AD。这样题目就得到了证明。像这样将三角形的中线延长一倍，通过构造全等三角形得到边角关系的方法称之为倍长中线法。今后当我们遇到中线或中点时，可以尝试倍长中线，构造全等三角形，从而证明线段间的数量关系。
知识点二，三角形的角平分线。三角形的角平分线是指三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。如图，AD 是△ABC 的角平分线，根据角平分线的定义，∠1 = ∠2 = 1/2∠BAC。如图，角平分线上的点到角两边的距离相等，我们可以得到点 O 到边 BC 和到边 AB 的距离相等。同理，点 O 到 AC 的边的距离和它们也是相等的，因此这三个垂足就在以 O 为圆心，以 O 到三边距离为半径的圆上，我们把这个圆叫做三角形的内切圆，它与三角形各边都相切，内切圆的圆心我们称之为内心，遇到内心可以联想它是三角形三条角平分线的交点。
关于三角形的角平分线还有一个重要的结论。三角形两条角平分线的夹角，如图∠BOC，它和第三个内角 A 之间有这样的关系，∠BOC = 90° + 1/2∠BAC。请看例 4，如图等边三角形 ABC 的边长等于 3 厘米，则它的内切圆的半径为多少？等边三角形我们很熟悉，那么内切圆在哪里呢？对，内切圆的圆心是内心，内心是三角形三条角平分线的交点。经过分析，我们可以做出如下图形，如图，因为圆 O 是△ABC 的内切圆，AO、BO 分别平分∠BAC、∠ABC，所以∠OBD = 30°。又因为 OD 垂直平分 BC，所以 BD = BC 的一半，即 3/2。这样我们就把内切圆的半径 OD 构造在了直角三角形 OBD 里边。通过解三角形可求出 OD 的长度，OD 的长是二分之根号 3，因此等边三角形的内切圆的半径就是二分之根号 3。
在这道题里，我们先根据题意作出图形，然后分析图形中三角形与圆、线段与线段之间的位置关系，进而通过解三角形来处理它们之间的数量关系。
知识点三，三角形的三边中垂线（也是垂直平分线）。由图可知，三角形的三边中垂线交于一点，根据线段中垂线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此 OB = OC。同理，它们和 OA 也是相等的。
这样，A、B、C 三点就在以 O 为圆心，以 OA 为半径的圆上，我们把这个圆称之为三角形的外接圆，外接圆的圆心是外心。请看例 5。如图，在△ABC 中，∠A = 60°，BC = 5 厘米。求能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是多少？如果想覆盖这个三角形，圆越大越好，什么时候最小呢？对，就是这个圆刚好经过 A、B、C 三点，那么这个圆就是△ABC 的外接圆。经过分析，我们可以做出如下图形，在这个图形中，假设 O 是外接圆的圆心，那么 OB、OC 就是外接圆的半径。如果我们做 OD 垂直于 BC，那么 OD 也平分 BC。由于 BC = 5 厘米，所以 BD = 5/2。再看，∠A = 60°，它是一个圆周角，它所对的弧是 BC，那么弧 BC 所对的圆心角∠BOC 就等于∠A 的两倍，即 120°，这样我们就可以得到∠BOD = 60°，那么外接圆的半径 OB 就构造在了直角三角形 OBD 中。通过解直角三角形可以求出 OB 的长度，OB = 5/3 倍的根号 3。但题目求的是直径，所以求出 OB 后还要乘以 2，最后结果是 10/3 倍的根号 3。所以能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是 10/3 倍的根号 3。