师：同学们，大家好！今天我们一起来学习八年级上册第12章第二节一次函数的第一课时。
大家看这张图片，是不是一下子就想到了乌鸦喝水的故事呀？假设故事中的瓶子是圆柱体，每粒石子体积相同，瓶里原有水深5厘米，放入一粒石子，水位就上升0.3厘米。那么放入(x)粒石子后，瓶中的水深(y)该怎么表示呢？
生：(y = 0.3x + 5)。
师：非常对！那这里(y)是(x)的函数吗？
（同学们有些沉默）
师：看来我们有必要回忆一下函数的概念。一般在一个变化过程中有两个变量(x)、(y)，对于变量(x)在它允许取值范围内的每一个值，(y)都有唯一确定的值与它对应，那么就说(x)是自变量，(y)是(x)的函数。由概念可知，判定函数需要两个条件：一是有两个变量；二是变量(y)与变量(x)唯一对应。根据这个概念，我们可以判断本题中(y)是(x)的函数。生活中还有很多类似的例子，请同学们写出下列问题的函数关系式。
第一题，冷冻一个(0)摄氏度的物体，使它每分钟下降(2)摄氏度，物体的温度(y)随冷冻时间(t)的变化而变化。物体的温度等于原来的温度减去下降的温度，所以(y = 0 - 2t = -2t)。
第二题，正方形的周长(C)与边长(a)的关系，同学们一起回答。
生：(C = 4a)。
师：很好。第三题，一个游泳池内有水(300)立方米，现打开排水管，以每小时(25)立方米的排水量排水，游泳池内剩余水量(q)随排水时间(t)变化而变化，剩余水量等于原来的水量减去排出的水量，所以(q = 300 - 25t)。因为解析式的右边是关于(t)的一次多项式，关于某个字母的多项式常按该字母的降幂排列，写作(q = -25t + 300)。另外，实际问题中自变量的取值往往有限制，既要满足解析式，又要使实际问题有意义，本节课暂不考虑。观察以上出现的四个函数解析式，大家能发现它们有什么共同点吗？
因为解析式是等式，我们可以分左右两边分别观察。解析式的左边是一个表示变量的字母，右边呢，有同学可能会纠结，右边有的是单项式，有的是多项式，好像不一样。别急，我们通过两个途径来理清思路。单项式与多项式统称为整式，所以解析式的右侧都是整式。而且单项式与多项式虽然项数不一样，但次数都是一次的。两方面结合可知，解析式的右侧都是关于自变量的一次整式。
如果把一次项系数用字母(k)表示，常数项用(b)表示，那么以上出现的(4)个函数解析式就可以统一写成(y = kx + b)。因为是一次整式，所以一次项系数(k\neq0)。形如(y = kx + b)（(k)、(b)为常数且(k\neq0)）的函数，我们把它叫做一次函数。
当常数项(b = 0)时，我们得到(y = kx)，此时函数叫做正比例函数。由定义可知，正比例函数解析式的右侧是一次单项式，一次函数的右侧是一次整式。因为单项式属于整式，所以正比例函数和一次函数是特殊与一般的关系，也可以用下图形象地表示这种关系。
认识了正比例函数和一次函数，下面我们来判断一下，下列函数中哪些是一次函数，哪些还是正比例函数？
（同学们纷纷发表看法，(6)的呼声很高，还有不少同学力挺(1)、(3)、(5)）
师：下面我们来一一分析。(1)、(y = -2x)，等号右侧是一次单项式，所以它是一次函数，也是正比例函数。(2)、解析式右侧是分式，不是一次函数。(3)、解析式右侧可以看作是((x - 3))与(2)的商，除以(2)等于乘以(\frac{1}{2})，所以可以表示成(y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2})，解析式右侧是一次二项式，是一次函数。(4)、(y = 4x^2 - 6)，它的次数是(2)，不是一次函数。(5)、(y = x + b)，看起来和概念中呈现的一样，但它缺少了(k\neq0)这个条件，所以它不是一次函数。(6)、(y = 5x - 1)，右侧是一次二项式，是一次函数。综上，是一次函数的有(1)、(3)、(6)，是正比例函数的是(1)。
我们知道表示函数有三种方法：列表法、解析法、图像法。那如何画函数的图像呢？就是列表、描点、连线。前面我们按照上述三个步骤画出了正比例函数(y = 2x)和(y = -2x)的图像。
观察图像可知，正比例函数图像是一条经过原点的直线。因此，我们也把正比例函数(y = kx)（(k\neq0)）的图像叫做直线(y = kx)。因为图像是一条直线，所以我们在描点时只需取两个点即可，为什么呢？
生：因为两点确定一条直线。
师：非常好。下面我们在同一坐标系中画出下列函数的图像。画图像的第一步是列表，为了方便描点，自变量和函数值尽可能取整数，且取较小的整数。所以对于函数(y = x)和(y = 3x)而言，我们可以取(0)和(1)。对于(y = \frac{1}{2}x)，自变量(x)最好取(2)的整数倍，但为了方便后面对比研究图像，这里自变量统一取(0)和(1)。画图像的第二步是描点连线。为了便于分析图像，我们在画出的图像旁边标注函数解析式。观察图像，这三个函数的解析式有什么共同特点呢？