师：同学们好，很高兴我们一起学习。接下来开始上课，上节课我们学习了一次函数$y = kx + b$，它的图像是一条直线。常数$k$和$b$能取哪些数呢？正数、负数还有$0$。有同学强调，一次项系数$k$不能等于$0$，那当$k = 0$时会怎样呢？接下来我们一起揭晓。今天这节课，我们借助几何画板制作直线$y = kx + b$，通过改变$k$、$b$的取值，探究直线$y = kx + b$会有怎样的变化，这就是我们今天要学习的一次函数的性质。
在前面我们学过正比例函数的性质，正比例函数跟一次函数的区别在哪呢？对，在于$b$值。今天我们先来研究$b$值对直线$y = kx + b$位置的影响。要研究$b$值对这条直线位置的影响，需要在$k$值不变的前提下，改变$b$的取值，观察直线位置的变化。同学们请看，这条直线此时$k$值等于$0.77$，$b$值等于$0.61$。接下来要保证$k = 0.77$不变，改变$b$的值。同学们注意这条小线段，我们通过它来控制$b$的大小。现在看好，$k$值是$0.77$不变，我们改变$b$的取值，$b$可以无限大，也可以无限小。同学们，当$k$值不变时，改变$b$值，这一组直线有什么特征呢？仔细观察，有什么发现？
生：当$k$值不变，$b$值变化时，它们对应的图像是一组互相平行的直线。
师：非常好。这里同学们注意，如果$b$值大于$0$，不管$b$无限大还是无限趋近于$0$，这一组直线有什么共同特征呢？仔细看，发现了吗？
生：这一组直线都和$y$轴的正半轴相交。
师：很好。那同学们再看，如果$b$值正好为$0$，这里没办法精确拖到，但我们知道当$b$值为$0$时，此时一次函数就是特殊的正比例函数，那么这条直线会过哪里？
生：过原点。
师：对。我们继续，当$b$值小于$0$时，仔细看，$b$值小于$0$，无限小，下面看不清了。无限小，也可以无限趋近于$0$，这一组直线，不管$b$多小或者多靠近于$0$，又有怎样共同的特征呢？
生：这一组直线都与$y$轴的负半轴相交。
师：这样我们就探究出了$b$值对一次函数图像位置的影响。当$b$大于$0$时，函数图像与$y$轴的正半轴相交；当$b$等于$0$时，是正比例函数，过原点；当$b$小于$0$时，与$y$轴的负半轴相交。同学们想一想，反过来，如果知道一次函数图像与$y$轴的正半轴相交，能得到什么？
生：$b$大于$0$。
师：与原点相交呢？
生：$b$等于$0$。
师：与$y$轴的负半轴相交呢？
生：$b$小于$0$。
师：很好。这样我们研究了$b$值对一次函数图像位置的影响，那么$k$值对一次函数图像变化趋势又有怎样的影响呢？同样的道理，研究$k$值需要在$b$值不变的情形下，改变$k$的值，观察直线变化趋势的不同。同学们看，此时这条直线的$b$值是$1.11$，$k$值是$0.64$。我们在$b = 1.11$不变的情形下改变$k$值。同样借助这条小线段，拖上来，通过它改变$k$值，此时$k$是$0.61$。仔细看，$k$可以无限大，也可以无限小。同学们，当$b$值不变，改变$k$值时，这一组直线有什么共同特征呢？
生：这一组直线都过定点。
师：这个定点是多少？
生：$(0,b)$，这里是$(0,1.11)$。
师：很好，也就是说当$b$值相同，$k$值不同时，直线是通过$(0,b)$的一组直线。同学们还记得课前说的吗？一次函数的$k$不等于$0$，那当$k = 0$时会怎样呢？仔细看，我们让$k$值等于$0$。同学们看，$k$值等于$0$的时候，图像是什么？
生：也是一条直线。
师：那这条直线的解析式该如何表示呢？思考一下，要表示这条直线的解析式，就要想这条直线由什么组成？
生：无数个点组成。
师：对，那这时候我们研究这无数个点有什么特征。我们发现这些点的横坐标可以取任意实数，但纵坐标怎么样？
生：固定不变。
师：都是多少？
生：$1.11$。
师：这样的话，这条直线上的$x$值可以是任意实数，但$y$值只能是$1.11$，所以这条直线的解析式就可以表示为$y = 1.11$。
我们说对于一次函数，$k$值不等于$0$，$k$还可以取什么值呢？$k$大于$0$，还有$k$小于$0$。为了研究更有针对性，接下来分情况讨论。同学们看，当$k$大于$0$时，$k$值越大，这条直线怎么样？
生：越陡，也越接近于$y$轴。
师：$k$大于$0$时，如果$k$值越小呢？
生：越接近于$x$轴，也可以说越远离于$y$轴。
师：很好。当$k$大于$0$时，不管$k$怎样趋近于$0$，或者$k$无限大，这一组直线自左向右有怎样的趋势呢？
生：上升的趋势。
师：这里上升是谁在上升呢？要研究这个问题，还是要回归本质，这条直线由无数个点组成，我们在直线上任取一点$P$。来看，自左向右，谁在增加？
生：横坐标在增加。
师：自左向右，横坐标增加时，$P$点的纵坐标怎么样？
生：纵坐标也在增大。
师：对，当$k$大于$0$时，是上升趋势，自左向右横坐标增大，纵坐标也增大。这就是一次函数的性质，对于一次函数$y = kx + b$，强调一次项系数$k$不等于$0$，当$k$大于$0$时，$y$随着$x$的增大而增大，自左向右呈上升趋势。讨论完$k$大于$0$时，接下来讨论什么？
生：$k$小于$0$时。
师：当$k$值小于$0$时，同学们看，此时直线是不是越来越靠近于$y$轴？但关注$k$值，直线越靠近于$y$轴，$k$值反而怎么样？
生：越小。
师：当$k$小于$0$时，$k$值越大，这条直线反而怎样？
生：越远离于$y$轴。
师：对，跟刚才相反。同学们继续，当$k$小于$0$时，不管$k$多小，或者多接近于$0$，观察这一组直线，自左向右有怎样的趋势？
生：下降的趋势。
师：此时是谁在下降？同样在直线上任取一点$P$。此时$P$的横坐标是$-5.47$，纵坐标是$7.16$，自左向右，横坐标怎么样？
生：横坐标增大。
师：纵坐标怎么样？
生：纵坐标减小。
师：对，$k$小于$0$时，自左向右横坐标增大，纵坐标反而减小。也就是说对于$k$小于$0$，自左向右是下降趋势，此时$y$随着$x$增大而减小。同学们想，如果反过来，对于一次函数，知道$y$随着$x$的增大而增大，能得到什么？
生：$k$值大于$0$。
师：如果$y$随着$x$的增大而减小呢？
生：$k$值小于$0$。
师：很好。我们再回忆，$k$大于$0$时，直线越靠近于$y$轴，$k$值越大；$k$小于$0$时，直线越靠近于$y$轴，$k$值反而越小。能不能把这两种情况归结为一种表述呢？想一想。
生：$k$的绝对值越大，直线越靠近于$y$轴；$k$的绝对值越小，直线越远离于$y$轴。
师：非常好，这就是今天学习的一次函数的性质。接下来利用一次函数的性质来解决问题。先看第一题填空题，请同学们把书本打开到$39$页，完成书本上的第一题，按下暂停键，做完以后再回来。
（学生做题）
师：同学们做完了吗？我们来看这道题，这是对一次函数性质的直接应用。已知一次函数的$k$值等于$7$，大于$0$，所以直接得到$y$随着$x$怎么样？
生：增大而增大。
师：下面这小题，$k$等于$-2$，$k$小于$0$，那$y$随着$x$的增大反而怎么样？
生：减小。
师：这是第一题填空题。接下来看这道题，已知一次函数$y = (2m + 1)x + 3$，这里$k$值是多少？