师：同学们，今天继续学习七年级下册第八章第五节综合与实践纳米材料的奇异特性第二课时。上节课留了道作业，要求大家课后写出完整解答过程，且已带领做了列表分析。现在结合上节课类似题目的解答过程，完成此题。这题要先求三个量，一是大正方体的表面积，二是分成的小正方体的边长，三是所有小正方体的表面积之和，再求比值。下面开始解答。
解：边长为10厘米的正方体表面积为10×10×6 = 600平方厘米。分成的小正方体边长为10÷4 = 2.5厘米。所有小正方体的表面积之和为2.5×2.5×6×4×4×4 = 2400平方厘米。2400 : 600 = 4 : 1。
答：各小正方体的表面积之和与原正方体的表面积之比为4 : 1。这样就完成了解答。同学们，解决这类问题运用了一种数学思想——类比。什么是类比呢？类比是根据两个对象或两类事物的一些属性相同或相似，猜测另一些属性也可能相同或相似的思维方法。在数学中，类比是发现概念、方法、定理公式的重要手段。著名数学家玻利亚说过“类比是一个伟大的引路人”，他还写了一本著作叫《数学与猜想：数学中的归纳与类比》。今天这节课，希望同学们能细心类比，大胆猜想。
接下来，看一则数学小故事，有关杨辉三角。1261年，我国宋代数学家杨辉写了《详解九章算术》，书中记载了一个用数字排成的三角形。这个数字三角形原名“开方作法本源图”，是1050 - 1100年间北宋人贾宪所作，后来我们把这种数字三角形叫做杨辉三角或贾宪三角。杨辉三角实际是二项式乘方展开式的系数表。同学们，一起来探究问题：观察图中右侧的系数表，发现了什么规律？能写出(a + b)^7、(a + b)^8等展开式的各项系数吗？老师给点提示，看看每行系数的排列有什么特征，呈倒三角的三个数有没有规律？大家想一想。
生：通过观察，发现每行系数的排列左右对称。
师：再来看看呈倒三角的三个数。大家看，1 + 1 = 2，1 + 2 = 3，1 + 3 = 4，3 + 3 = 6，1 + 4 = 5，4 + 6 = 10，1 + 5 = 6，5 + 10 = 15，10 + 10 = 20。能发现什么？
生：下面这个数是上面两个数的和，当然排除两侧的系数1。
师：对，这样就能得到结论，除两侧的系数1以外，每个数等于它上方两个数之和。我们再来看看系数的个数有没有规律？
生：第一行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，第四行4个数，第五行5个数，第六行有6个数，第七行有7个数。
师：那发现了什么呢？要寻找和二项式乘方有什么联系，二项式乘方底数都是a + b，指数在变化，所以要找系数的个数和(a + b)的次数有什么关系。
生：系数的个数比二项式乘方的次数大一。
师：接下来根据系数表中发现的规律，依次写出(a + b)^7展开式的各项系数、(a + b)^8展开式的各项系数。
(a + b)^7展开式的各项系数分别为：1，7，21，35，35，21，7，1。
(a + b)^8展开式的各项系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1。
接下来，根据找到的规律，试一试写出(a + b)^10展开式中第三项的系数是多少？这道题有两种方法。第一种方法是根据系数表发现的规律依次写出系数。前面已写出(a + b)^8展开式中各项系数，由于只需求第三项系数，所以只需知道(a + b)^8展开式前面三项系数分别是1、8、28。接着依次写出(a + b)^9展开式的前面三项系数分别为1，1 + 8 = 9，8 + 28 = 36。再依次写出(a + b)^10展开式的前面三项系数分别为1，1 + 9 = 10，9 + 36 = 45，这样就得出答案45。
第二种方法是直接找第三项系数的规律。回看系数表，第三项系数分别是1、3、6、10、15。根据前面发现的规律，3 = 1 + 2，6 = 3 + 3 = 1 + 2 + 3，10 = 4 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4，15 = 5 + 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5。不难发现第三项的系数都能写成从1开始连续整数相加，一直加到某一个数为止。看看加到最后的数和(a + b)的次数有什么关系，很明显比(a + b)的次数小1。这样就能写出(a + b)^10展开式第三项的系数为从1加到9。利用首项加尾项乘以项数除以2，即(1 + 9)×9÷2 = 45。我们不仅能算出(a + b)^10展开式第三项的系数，还能归纳出一般规律：(a + b)^n展开式中第三项的系数是从1加到n - 1，等于(1 + (n - 1))×(n - 1)÷2 = $\frac{n(n - 1)}{2}$ 。
接下来，根据发现的规律，接着探究问题二，有三道题。先看第一小题，分别写出(a + b)2、(a + b)3、(a + b)?展开式中所有项的系数之和是多少？首先根据规律把系数写出来，(a + b)2展开式的各项系数为1、2、1；(a + b)3展开式的各项系数为1、3、3、1；(a + b)?展开式的各项系数为1、4、6、4、1。然后相加求和，1 + 2 + 1 = 4，1 + 3 + 3 + 1 = 8，1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16，得出结果。再来看第2小题，发现什么规律吗？试写出(a + b)^6展开式中所有项的系数之和是多少？
如果还没发现规律，可以依次写出(a + b)^5展开式的各项系数，然后求和，再依次写出(a + b)^6展开式的各项系数，再求和。(a + b)^5展开式的各项系数为1、5、10、10、5、1，相加求和得出是32。(a + b)^6展开式的各项系数为1、6、15、20、15、6、1，相加1 + 6 = 7，7 + 15 = 22，22 + 20 = 42，42 + 15 = 57，57 + 6 = 63，63 + 1 = 64，得出结果是64。看看根据这些数4、8、16、32、64，能不能发现什么规律？