师：各位同学大家好，今天我们开始学习必修5第三章第一节第一课时——不等关系。
在我们周围，存在着各种各样的不等关系。和相等关系一样，它们都是刻画现实世界基本数量关系的重要内容，也是我们数学研究的重点。东北师范大学史宁中教授提出，我们要会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界。
比如说，我们的身高。请同学们写下自己的身高，老师也写下我的身高。这样我们就得到了两个数。有的同学可能在心里想，我比老师高。那用数学语言怎么表达呢？比老师高，就是将这两个数据比较，中间用大于号连接，这样就建立了一个不等式，用不等式来表达不等关系。还有同学可能会说，我比老师矮，那我们就用小于号连接。巧的是，可能有同学说和老师一样高，那我们就用等于号连接。如果我把我的身高测量得更精确一些，比如我的身高是一米七八一。刚才和我一样高的同学，现在我们还一样高吗？由此可见，生活中存在着许多不等关系。
好，现在我们正式走进第三章。请同学们看这样一张照片，能猜到她跳的是什么舞吗？对，是芭蕾舞，也叫脚尖舞。观看芭蕾舞时，同学们可能会有疑问：为什么舞者要垫起脚尖跳舞呢？这其中蕴含着怎样的不等关系？
我们来尝试建模。人的身高是一定的，以肚脐为分界点，可以把身高分为上半身和下半身。设下半身为(x)，人的身高为(y)，这样就有了一个比值(\frac{x}{y})。舞者踮起脚尖后，高度提高了(m)，此时比值变为(\frac{x + m}{y + m})。我们得到了这两个比值，它们之间有什么关系呢？该如何判断和证明？(m)又是怎样的实数？这就是我们第三章要学习的不等关系的基本规律和基本模型。请同学们阅读例题。
好，这段文字提供了两个信息。第一个，1970年4月24日，我国成功发射了东方红一号人造卫星；第二个，2003年10月15日，我国成功发射了神舟五号载人飞船。接下来，我们看看东方红1号与神舟5号的部分参数对比。
先看近地点，东方红一号的近地点是439千米，神舟五号的近地点是200千米。得到这两个数据后，自然要进行比较。显然，439千米大于200千米，我们就建立了一个不等式，设东方红一号近地点为(SA)，神舟五号近地点为(SB)，即(SA > SB)。
同样的道理，看远地点，东方红一号的远地点是2384千米，神舟五号的远地点是350千米。比较后，又建立一个不等式，设东方红一号远地点为(SA')，神舟五号远地点为(SB')，即(SA' > SB')。
再看绕地球一周的时间，东方红一号是114分钟，神舟五号是90分钟，建立不等式(TA > TB)。
最后看飞船的质量，东方红一号的飞船质量是173千克，神舟五号的质量是7790千克，建立不等式(MA < MB)。这样我们就建立了四个不等式，用不等式表达了不等关系。
下表中给出的5个不等号大家应该很熟悉，前三个表示严格的不等关系，后两个表示非严格的不等关系。刚才的例一表达的就是常量与常量之间严格的不等关系。
好，回顾一下例一的解答过程。第一步，读懂题意，列出所涉及的量；第二步，将两个量进行大小比较；第三步，选择不等号，建立不等式。这就是例一解答的三个步骤。
现在进入例2，请同学们阅读这段文字。例2说，2015年12月，欧洲联盟委员会与荷兰环境评估署公布了20个国家和地区的二氧化碳排放总量以及人均二氧化碳排放量。这里我选择了中国和巴西等国家，根据阿果集团的人均二氧化碳排放量绘制出了直方图。请根据图中提供的信息，依据人均二氧化碳排放情况，将这9个国家人均二氧化碳排放量按照从小到大的顺序排列。我们借助工具进行直观排序，建立不等式后会发现，中国处在第三个位置，这说明中国在全球气候变化方面做出了重大贡献。同时会发现美国人均二氧化碳排放量是最大的。请同学们用不等式表示美国人均二氧化碳排放量最大这个事实。
同学们想一想，这里面涉及到哪些量？第一个是美国的人均二氧化碳排放量，第二个是除美国外其他8个国家的人均二氧化碳排放量。这两个量要进行比较，显然美国的最大。但问题是，这8个国家的人均二氧化碳排放量怎么统一表示呢？这时就需要引入变量。
设除美国外其他8个国家的人均二氧化碳排放量为(c)，(c)就是一个变量，它的取值范围是除美国外8个国家人均二氧化碳排放量的值。这样我们就建立了不等式(16.6 > c)，用这个不等式表达美国人均二氧化碳排放量最大的事实。
看例2建立的这个不等式，它体现的是一组常量之间的不等关系，而对例2的一个变式体现的是变量与常量之间的不等关系。同样回顾一下例2建立不等式的整个过程。第一步，读懂题意，列出涉及的量；第二步，比较这些量，判断不等关系；第三步，设出字母表示变量；第四步，选择不等号，表达不等关系。请看例3。阅读这段文字。
大家尤其注意看红色部分，1.2 - 1.5米，这个范围内可以享受儿童票，也就是半价，超过1.5米就要买全票了。携带一名身高不足1.2米，这三个数据显然都涉及儿童的身高。再看后面三组数据，不超过160厘米、不超过200厘米和不超过20千克，显然这三个数据涉及物品的尺寸和重量。
设儿童的身高为(h)，物品的长宽高尺寸之和为(p)。我们来填写下表，1.2 - 1.5米用数学符号怎么表达呢？1.2和1.5是两个常数，儿童身高(h)在这两个常数之间变化，所以(h)应该大于等于1.2，同时小于等于1.5，这样就建立了变量与常量之间的不等关系。
第二个，超过1.5米，自然是身高大于1.5米；不足1.2米，就是身高小于1.2米，当然身高还要大于0。最后一个，不超过160厘米，就是小于等于160厘米，同时(p)作为尺寸之和也要大于0，这样就建立了变量与常量之间的不等关系。
总结一下例2的变式与例3，它们反映的都是变量与常量之间的不等关系。总结例3的解题过程：第一步，读懂题意，列出涉及的量；第二步，分清常量与变量，判断不等关系；第三步，设出字母，分析变量的取值范围；第四步，选择不等号表示不等关系。
好，这是前三个例题。除了变量与常量之间的关系，还有什么样的关系呢？请同学们阅读例4。文字看完了，我们一起分析例题。这个题目涉及到两个函数，第一个函数(y = F(x))，反映了销售收入与销售量之间的函数关系；第二个函数(y = G(x))，反映了销售成本与销售量之间的函数关系。从图中可以看到，函数(y = F(x))是一条递增的函数图像，(y = G(x))也是一条递增的函数图像。这两条函数图像有一个交点，交点的横坐标是(a)，这说明当(x = a)时，(F(a))与(G(a))相等，也就是当销售量为(a)吨时，销售收入与销售成本相等。
看第一题，当销售量为多少时公司盈利？盈利自然是收入大于成本，反映在函数图像上，就是函数(F(x))的图像在(G(x))图像的上面，显然(x)应该大于(a)。所以当(x > a)时，公司开始盈利，用不等式(F(x) > G(x))表示。同样的道理，当(0 \leq x < a)时，公司会亏损，建立的不等式是(F(x) < G(x))，这样就建立了函数与函数之间的不等关系。
总结一下例4，比较公司的销售收入与销售成本之间的关系，体现了函数与函数之间的不等关系。梳理建立不等式的一般步骤：第一步，读懂题意，理解两个函数；第二步，根据函数图像比较两个函数之间的关系；第三步，根据两个函数的不等关系，找到对应自变量的取值范围；第四步，选择不等号表示不等关系。
请同学们看例5这个题目，这个题目涉及的量比较多，我们分一下类。首先有单价两个常数，然后是使用资金又一个常数，紧接着是采购足球与篮球的数量。问题是足球数与篮球数满足怎样的关系？
先分清楚足球数与篮球数是不是常量，显然不是，因为足球至少买3个，篮球至少买5个。设足球数为(x)，篮球数为(y)，根据题意可得(160x + 190y \leq 2000)，这样就建立了变量与常量之间的不等关系。但这个不等式能完全表达题目的意思吗？显然不能，因为足球至少3个在这里没体现出来，所以(x)还要大于等于3，且(x)要取正整数；同样，篮球数(y)要大于等于5，(y)也要取整数。到这里就建立了一组不等式，也就是不等式组，只有用不等式组才能准确、完整地表达题目的意思。
梳理一下建立不等式组的步骤：第一步，读懂题意，理解涉及的量；第二步，比较这些量，判断它们的基本关系；第三步，设出字母，用代数式表示这些量；第四步，选择不等号，建立不等式组。
把刚才讲过的5个例题及变式进行解题总结，建立不等式模型的一般步骤：第一步，读懂题意，分析题目中涉及的量；第二步，比较这些量，判断它们之间的基本关系；第三步，设出字母，用代数式表示这些量；第四步，准确选用不等号表达不等关系。这四步可以简单概括为读题、比较、设量、表达，不妨简称为四步建模法。
同学们，接下来我们用四步建模法做两个小练习。请同学们按照四步阅读并解决这个题目。做完了吗？我们一起分析。第一步读题，这个题目涉及两个广告牌，第一个广告牌由一个等腰直角三角形和一个小一点的等腰直角三角形拼接而成，第二个是长方形。
第二步比较，显然第一个广告牌面积比第二个多了一个角，还要比较(a)和(b)的大小，(a)大于(b)。第三步设量，题目中已经给出(a)、(b)这两个量。第四步表达。
我们写一下步骤。由图可知，(a > b)，图一的面积是两个等腰直角三角形的面积，即(\frac{1}{2}a^{2} + \frac{1}{2}b^{2})，图二的面积是(a \times b)，这样就得到(\frac{1}{2}a^{2} + \frac{1}{2}b^{2})与(ab)这两个量，用大于号连接，即(\frac{1}{2}a^{2} + \frac{1}{2}b^{2} > ab)。遵循这四步就解决了这个问题。
在这个题目中(a > b)，那如果(a < b)，看变式一。此时(a < b)，图一的面积依然是(\frac{1}{2}a^{2} + \frac{1}{2}b^{2})，图二的面积依然是(a \times b)，图一的面积还是大于图二的面积，所以还是(\frac{1}{2}a^{2} + \frac{1}{2}b^{2} > ab)，和刚才的不等式完全一样。
再看一个变式，当(a)和(b)相等时，两个广告牌都变成了正方形，此时它们的面积一样。第一个广告牌(\frac{1}{2}a^{2} + \frac{1}{2}b^{2})和第二个广告牌面积(a \times b)相等。综上，得到(\frac{1}{2}a^{2} + \frac{1}{2}b^{2} \geq ab)，化简一下就是(a^{2} + b^{2} \geq 2ab)。请问同学们，这个不等式等号何时成立呢？显然是(a)和(b)相等的时候。
我们再看第二个练习题，请同学们阅读题目。依然遵循四步建模法。首先读题，向一杯不太甜的糖水中再加一点糖，生活经验告诉我们，这杯糖水会更甜。请同学们建立不等式表示这个事实。读完题后，接下来比较，看看题目中涉及哪些量。显然涉及到原来的糖水和加入一点糖后生成的另一杯糖水这两个量。
设糖水的质量为(b)克，糖水中含有糖(a)克，则这杯糖水的质量分数为(\frac{a}{b})，再加入(m)克糖后，糖水的质量分数为(\frac{a + m}{b + m})。根据经验更甜了，所以有不等式(\frac{a}{b} < \frac{a + m}{b + m})，其中(b > a > 0)，(m > 0)。
这个不等式以后会经常遇到，很重要，不妨给它起个名字。同学们有好的名字吗？对，从一杯糖水抽象出来的，不妨称之为糖水不等式。看到这个糖水不等式，同学们有没有似曾相识的感觉？对，讲芭蕾舞演员的时候，提炼出了同样的结构。现在有理由相信(\frac{x}{y} < \frac{x + m}{y + m})。事实上，人的下半身长(x)与全身长(y)的比值大概在(0.58)左右，踮起脚尖后，这个比值大概在(0.618)左右，完全符合人类的黄金分割审美标准。所以女士为了追求美穿高跟鞋，就是这个道理。
可见，以上两个不同的生活情境，抽象出了完全相同的数学模型，恰恰体现了数学广泛的应用性和高度的抽象性。逻辑的严谨性我们留到下一节课证明。
总结一下这节课，我们从四个方面总结。一类关系，就是不等关系；一个方法，即四步建模法；两种核心素养，通过抽象不等关系发展了数学抽象核心素养，通过建立不等式模型发展了数学建模核心素养；强化了三条数学理念，会用数学的眼光观察世界，能看清事物的本质；会用数学的思维思考世界，让我们对事物分析得更透彻；会用数学的语言表达世界，使我们的表述更精准。
布置一下今天的作业，第74页A组第4题和B组第1题。最后留下一个探究题，请预习1.2，寻找糖水不等式的第三种生活模型，并试着证明。
这节课就上到这里，同学们，再见。