师：本节课我们来学习等腰三角形第三课时。首先回顾一下等腰三角形的性质。性质一，等腰三角形的两底角相等，即如果一个三角形的两边相等，那么它所对的角也相等，简称为“等边对等角”。性质二，等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边，简称为“三线合一”，体现等腰三角形是轴对称图形。请同学们思考，前面学习的线段的垂直平分线的性质定理和判定定理有什么关系？
生：它们互为逆命题。
师：那等腰三角形性质一“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是真命题吗？下面我们共同探究。请同学们利用手中两块相同的30度三角板拼成一个三角形ABC。
生：（操作后）发现角B等于角C等于60度，AB等于AC。
师：这是一种特殊情况，我们继续探究。当角B等于角C为任意度数时，AB等于AC是否成立。下面通过几何画板来演示。（演示，给定任意一个三角形ABC，保证角B始终等于角C为任意度数，观察AC和AB的长度始终相等）因此我们发现，一个三角形如果两个角相等，那么它所对的边也相等。下面我们通过逻辑推理来证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”。这是一个文字语言叙述的证明题，我们需画图并写出已知、求证。画出三角形ABC。已知在三角形ABC中，角B等于角C，求证AB等于AC。结合之前所学习的知识，要想证线段相等，可以通过证全等或者利用对称性进行证明。因此我们可以过点A作AD垂直BC于点D。此时角ADB等于角ADC等于90度。在三角形BAD和三角形CAD中，角ADB等于角ADC，角B等于角C，AD等于AD，所以三角形BAD全等于三角形CAD，所以AB等于AC，即三角形ABC是等腰三角形。请同学们思考，还能如何证明？由等腰三角形“三线合一”的性质，我们可以联想到还可以做顶角平分线或者做边上的中线，具体如何证明需同学们课下讨论完成。最后我们再思考，能不能不做辅助线，即把三角形ABC看成是两个三角形，在三角形ABC和三角形ACB中，角B等于角C，角C等于角B，BC等于CB。所以三角形ABC全等于三角形ACB，因此AB等于AC。由此我们得到等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，它的符号语言是在三角形ABC中，因为角B等于角C，所以AB等于AC，即“等角对等边”。
下面请同学们带着这个定理观察黑板上的两块30度三角板，此时图中有没有等腰三角形？为什么？
生：角A等于角D等于30度，角ABC等于角DFE等于90度，因此可以求出角GEC等于角GCE等于60度。由“等角对等边”可知，三角形GEC是等腰三角形。
师：有没有特殊的等腰三角形？
生：由三角形内角和为180度，还可以求出角EGC也为60度，由“等角对等边”可以推出GE等于GC等于EC。由等边三角形的定义“三边相等的三角形是等边三角形”，因此三角形GEC为等边三角形。
师：由此可以推出三个角都相等的三角形是等边三角形。三个角都相等时，我们可以求出每个角的度数为60度，即三个角为60度的三角形是等边三角形。两个角为60度时，这个三角形是等边三角形吗？
生：两个角为60度时，不难求出第三个角也为60度，因此这个三角形是等边三角形。
师：那一个角为60度时，这个三角形是等边三角形吗？
生：不能确定。
师：一个角为60度的什么三角形是等边三角形呢？
生：有一个角是60度的等腰三角形，是等边三角形。
师：此时这个角可以为等腰三角形的顶角，也可以为等腰三角形的底角。假设GE等于GC，则角E等于角C，当顶角G等于60度时，角E等于角C等于60度，所以三个角都相等，因此三角形GEC是等边三角形。当底角E为60度时，可求出底角C也为60度，顶角G等于180度减两倍的60度等于60度，所以三个角都相等，三角形GEC是等边三角形。因此我们得到第二个推论：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
下面请同学们继续观察两块30度角的三角板，此时三角形ABC与三角形ABE有什么关系？
生：三角形ABC是三角形ABE的轴对称图形。
师：不难发现此时的AE等于AC，角EAC等于2倍的30度等于60度。所以根据推论2“有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形”，得到三角形AEC是等边三角形。请同学们思考，直角三角形ABC中30度角所对直角边BC与斜边AC之间有什么样的数量关系？