师：同学们大家好，前面几节课我们了解了勾股定理的前世今生。作为世界十大定理之一，它的重要性不言而喻，为我们打开了通往几何世界的另一扇大门。上节课，大家学习了勾股定理的逆定理，这是一种利用代数计算判定直角三角形的方法。我们先来回顾一下，直角三角形有哪些性质？怎样判断一个三角形是直角三角形呢？
生：直角三角形有一个角是90度。
师：没错，有一个角是90度的三角形就是直角三角形。在八年级上册学习三角形内角和定理时，有一个推论：直角三角形两锐角互余。它的逆命题是什么呢？
生：有两个角互余的三角形是直角三角形。
师：非常好。勾股定理的逆定理同样可以判断一个三角形是直角三角形。我们先来复习一下这两个重要的定理。勾股定理的条件是一个三角形是直角三角形，结论是a2 + b2 = c2，由直角三角形的特殊性得到三边之间的数量关系。勾股定理的逆定理条件是在三角形ABC中，a2 + b2 = c2，结论是这个三角形是直角三角形，且最大边c所对的角C是直角，由三边之间的数量关系得到三角形的特殊性。现在进行热身训练，判断下列三边组成的三角形是不是直角三角形？如果是直角三角形，那么这三个数是不是一组勾股数呢？请同学们口算并得出结果。
生：（思考、计算后回答）
师：判断是不是直角三角形，关键是判断较小两边平方和是不是等于最大边的平方。这里c都是最大的边，所以我们只要判断是否满足a2 + b2 = c2就可以了。通过计算不难得出，能组成直角三角形的是3、4，其中3、4是勾股数。还记得什么是勾股数吗？
生：能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数。
师：很好。再来观察3、4这两组数，它们有什么相似之处呢？
生：3中的三个数分别是3、4、5的二倍，4中的三个数分别是3、4、5的五倍。
师：对，3、4、5是一组常见的勾股数，3、4、5的二倍、五倍也是勾股数，那么3、4、5的正整数倍都是勾股数吗？我们通过例一来寻找问题的答案。
请看例一：在三角形ABC中，∠C = 90°，AB = c，BC = a，AC = b。证明当a、b、c为勾股数时，ka、kb、kc（k为正整数）也是勾股数。请同学们思考一下如何证明。
生：（思考）
师：要证明ka、kb、kc是勾股数，必须要证明ka、kb、kc满足勾股定理逆定理的条件。首先我们要确定最大的数，由题意可知，∠C = 90°，所以c最大，同理kc也最大。我们只需要证明(ka)2 + (kb)2 = (kc)2即可。由题意得a2 + b2 = c2，(ka)2 + (kb)2 = k2a2 + k2b2，提取公因数k2等于k2(a2 + b2)，因为a2 + b2 = c2，所以又等于k2c2，(kc)2 = k2c2，这个时候我们就得到了数量关系(ka)2 + (kb)2 = (kc)2，所以ka、kb、kc是勾股数。
显然我们通过逆定理解决了问题，得出了结论：常见的勾股数的正整数倍也是勾股数。常见的勾股数有3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17；9、40、41等。记住这些勾股数在以后的解题中可以减少计算量，达到快速答题的效果。我们能不能用代数式来表示所有的基本勾股数呢？下面我们将通过拓展提高来解决这个疑问，找到规律。
请看拓展提高：已知在三角形ABC中，三条边长分别为a = m2 - n2，b = m2 + n2，c = 2mn。其中m，n是任意给定的正整数，（m > n）。求证三角形ABC是直角三角形。同学们拿出草稿纸尝试证明。
生：（在草稿纸上计算）
师：要证明三角形ABC是直角三角形，关键是找到逆定理成立的条件。首先要分辨出谁是最长的边。我们可以取符合条件的m、n的值，比如令m = 2，n = 1，此时a = 3，b = 5，c = 4。显然b最大。所以我们只需要证明a2 + c2 = b2就可以了。
因为a2 = (m2 - n2)2，利用完全平方公式展开，等于m? - 2m2n2 + n?，c2 = 4m2n2，b2 = (m2 + n2)2，再次利用完全平方公式展开等于m? + 2m2n2 + n?。我们把a2、c2加起来等于m? - 2m2n2 + n? + 4m2n2，合并同类项等于m? + 2m2n2 + n?，恰好等于b2。
勾股定理逆定理成立的条件我们找到了，所以三角形ABC是直角三角形。大家注意，这里的a、b、c是由含m、n的代数式表示的，我们把这样的数称为毕达哥拉斯数，也就是勾股数。由这个公式我们可以得到所有的基本勾股数。以勾股数的正数倍作为三边组成的三角形，一定是直角三角形。
如果题目已知边的长度，我们可以直接通过平方的计算找到三边的数量关系，确定形状。但有些题目很难找到一些边长，此时又该如何解答呢？请看练习：已知三角形ABC三边长a、b、c满足a + b = 4，ab = 1，c = √14，说明三角形ABC是直角三角形。请同学们开动脑筋尝试一下。
生：（思考、计算）
师：本题中没有直接给出a、b的长度，而是以两边的和与积的形式出现。如果要直接求出a、b，过程会很复杂，同学们可以课后继续尝试。我们发散思维，在上一章根与系数关系中，大家学过由两根之和与两根之积推出两根的平方和。这里可以同样操作。利用a + b和ab得到a2 + b2的值，从而避免了复杂的计算。因为a + b = 4，ab = 1，所以a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab。