师：同学们好，很高兴和大家一起合作学习。这节课是沪科版九年级数学上册第 21 章第一课时，我们来学习一类新的函数——二次函数。说到函数，我们已经学过哪些函数？
生：一次函数 y = KX + b（K、b 为常数，k ≠ 0）。特殊的，当 b = 0 时，y = kx（k ≠ 0），是正比例函数。正比例函数是特殊的一次函数。
师：还记得我们是如何研究它的吗？
生：首先从生活实际中抽象出这一类模型，并归纳出它的定义，再研究它的图像性质以及与方程不等式之间的关系，最后利用这些性质去解决实际问题。
师：研究函数的方法有哪些？
生：常见的有数形结合、从特殊到一般、转化思想、待定系数法等。
师：有了一次函数的学习经验，本章也将用同样的研究思路和方法来探究二次函数。首先我们来学习二次函数的定义，一起看看几道实际问题。某种产品 1 月份的产量为 20 吨，如果平均每月增长的百分率为 x。第一小问，写出该产品 2 月份的产量 y 吨与 x 之间的函数表达式。分析题意可知，2 月份的产量是在 1 月份的产量 20 吨的基础上增长了百分率 x，即增加的量为 20x。那么 2 月份的产量 y 吨就等于 1 月份的产量 20 吨加上增加的量 20x 吨，也就是等于 20(1 + x)。第二小问，写出该产品 3 月份的产量 y 吨与 x 之间的函数表达式。3 月份的产量是在 2 月份的基础上又增长了百分率 x，即 3 月份的产量 y 吨等于 2 月份的产量 20(1 + x)吨，再加上增加的量 20(1 + x)×x，也就是等于 20(1 + x)2，最后整理得 y = 20x2 + 40x + 20。
师：某水产养殖户用 40 米的围网在水库中围一块矩形的水面投放鱼苗，设围成的矩形水面的一边长为 x 米，面积为 s 平方米，那么 s 与 x 之间有怎样的函数关系？
生：用 40 米的围网围成矩形，则邻边之和为 20 米。现在设矩形水面的一边长为 x 米，那么另外一边长为 20 - x 米，所以矩形的面积 s = x(20 - x)，整理得 s = -x2 + 20x。
师：这里的 x 的取值有什么限制？在实际问题中，自变量的取值范围既要满足题意，又要符合实际。
生：矩形的边长为正数，则 x > 0，20 - x > 0，解得 0 < x < 20。
师：有一玩具厂如果安排装配工人 15 人，那么每人每天可装配玩具 190 个。如果增加人数，那么每增加一人可使每人每天少装配玩具 10 个。问，增加多少人才能使每天装配玩具总数最多？是多少？要解决这个问题，我们首先要弄清楚玩具总数与增加人数之间的关系。设增加了 x 人。读题、审题可以用画记的方法理清题意。原来有装配工人 15 人，则增加后现在共有 15 + x 个工人，每增加一人，可以使每人每天少装配玩具 10 个。增加了 x 人，则每人每天可少装配玩具 10x 个，是在原来每人每天可装配玩具 190 个的基础上减少的，因此现在每人每天可装配 190 - 10x 个玩具。所以增加人数后，每天装配玩具总数 y = (190 - 10x)(15 + x)，整理得 -10x2 + 40x + 2850。这里 x 的取值范围有什么限制？
生：x 的实际意义是增加的人数是正整数，用 x 表示出来的玩具个数也是正整数，因此 x > 0，190 - 10x > 0，即 0 < x < 19，且 x 为正整数。
师：观察上述三个问题的表达式，哪些是我们学过的？
生：第一个 y = 20x + 20，它是一次函数。
师：剩下的陌生的表达式具有什么共同特点呢？
生：它们都有两个变量，比如说 y = 20x2 + 40x + 20。对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，所以说 y 是 x 的函数。这三个都是函数表达式，但是与一次函数不同，这里自变量的最高次数都是二次，函数都是用自变量的二次式来表示的。
师：因此我们把这一类函数叫做二次函数。那么你能类比一次函数的定义，给二次函数下个定义吗？
生：一般地，形如 y = ax2 + bx + c（a、b、c 为常数，a ≠ 0）的函数叫做二次函数。其中 ax2是二次项，a 为二次项系数，bx 是一次项，b 为一次项系数，c 为常数项。
师：观察二次函数的解析式 y = ax2 + bx + c（a ≠ 0），这式子有哪些特点？
生：第一点，等号的左边是函数 y，右边是关于自变量 x 的二次整式；第二小点，自变量的最高次数为 2；第三小点，二次项的系数不为 0。
师：对于二次函数 y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）中的 a 为什么不能是 0？b 和 c 可否为 0？
生：当 a = 0 时，y = bx + c 没有二次项，不是自变量 x 的二次函数。当 a ≠ 0 时，若 b = 0，则 y = ax2 + c；若 c = 0，则 y = ax2 + bx；若 b = 0，c 也 = 0，则 y = ax2。因此二次函数可以没有一次项和常数项，但必须要有二次项。
师：探究完二次函数的定义，我们再来看看几道例题。判断下列函数是否为二次函数，如果是，写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。第一个 y = -3x2。
生：有二次项，二次项系数是 -3，不为 0，符合二次函数的定义，因此它是二次函数。这里没有一次项和常数项，可以理解为 y = -3x2 + 0×x + 0，所以一次项系数为 0，常数项为 0。
师：第二个 y = 5x2 - 2x + 1。
生：二次项系数为 5，不是 0，所以它是二次函数。二次项系数为 5，一次项系数为 -2，常数项为 1。
师：第三个 y = mx2 + x - 1。
生：有二次项 mx2，但是对于 m 没有限制，因此 m 有可能等于 0。而只有当 m ≠ 0 时，它才是二次函数，所以它不一定是二次函数。
师：第四个 y = 4 - x3。
生：自变量的最高次数是 3，且三次项系数不为 0，不是二次函数。
师：第五个 y = 2x2 + 1/x。
生：这里 1/x 是分式，不符合二次函数解析式的一般形式，等号的右边是自变量 x 的二次整式，所以它不是二次函数。
师：第六个 y = (x - 2)(2x + 1)。
生：先利用整式的乘法展开，得到 y = 2x2 - 3x - 2。这里含有二次项，且二次项系数不为 0，所以它是二次函数。二次项系数为 2，一次项系数为 -3，常数项为 -2。
师：通过这道例题，我们学习到要判断一个函数是二次函数，要满足自变量的最高次数是 2，并且二次项系数不为 0，等号的右边是关于 x 的二次整式。在书写二次函数各项系数时，需要把二次函数先化成一般形式，再对应写出各项系数，注意各项系数的符号。能够辨析二次函数后，下面我们来利用二次函数的概念来解题。函数 y = (m2 - 4)x2 + (m - 2)x - 3（m 为常数）。第一小问，当 m 取何值时，该函数为二次函数？
生：这里的二次项系数 m2 - 4 ≠ 0，解得 m ≠ ±2，即当 m ≠ ±2 时，该函数为二次函数。
师：第二小问，当 m 取何值时，该函数为一次函数？
生：注意到自变量最高次数为 1，则二次项系数为 0，且一次项系数不为 0，则由 m2 - 4 = 0，m - 2 ≠ 0，解得 m = -2，即当 m = -2 时，该函数为一次函数。
师：我们再来看一道变式题，关于 x 的这样一个函数，它是二次函数，则 m 的值为多少？注意到参数 m 出现在系数和指数上，要满足它是二次函数，则自变量 x 的最高次数为 2，即 |m| = 2，m = ±2。又因为 m - 2 是二次项系数，不等于 0，所以 m ≠ 2，因此 m 只能等于 -2。
师：除此之外，我们还要学会从实际问题中抽象出二次函数的模型，写出表达式并求出自变量的取值范围。在一块长为 100 米、宽为 80 米的矩形空地上修筑两条互相垂直的宽为 x 米的小路，其余部分种植草地，草地的面积为 y 平方米，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围。这一道题有两种方法列表达式。方法一，草地的面积 y 可以看作是等于矩形空地的面积 100×80，分别减去水平方向上的小路面积为 100x 和竖直方向上的小路面积为 80x。注意，在减去水平方向上的小路时，已经减去了交叉处的 x2。而在减去竖直方向上的小路面积时，也减去了交叉处的 x2，因此要将多减去的 x2加上，整理得 x2 - 180x + 8000。自变量 x 的取值有什么限制呢？
生：实际问题中，小路的宽度为正数，且小于原来矩形的长和宽，即 x 要满足 x > 0 且 x < 80，x < 100，解得 0 < x < 80。
师：方法二，我们可以利用平移的方法将水平方向上的小路向上平移，竖直方向上的小路向右平移，得到了草地部分是长为 100 - x 米，宽为 80 - x 米的矩形。则 y = (100 - x)(80 - x)，整理得 x2 - 180x + 8000。根据题意，小路宽 x 为正数，平移后得到的草地的长和宽也是正数，所以 x > 0，100 - x > 0，且 80 - x > 0，解得 0 < x < 80。
师：学习了这种平移方法后，我将题目进行了一个变式，将两条互相垂直的小路变为了 4 条，其他条件不变。又将如何列出 y 与 x 的函数表达式呢？
生：通过平移后发现草地的部分是长为 100 - 2x 米，宽为 80 - 2x 米的矩形。因此草地的面积 y = (100 - 2x)(80 - 2x)，整理得 4x2 - 360x + 8000。同理这里的小路宽度 x 仍然为正数，草地的长和宽也为正数，即 x > 0，100 - 2x > 0，且 80 - 2x > 0，解得 0 < x < 40。
师：最后我们来做一道练习题来巩固今天的学习。某零售商购进一批单价为 16 元的玩具，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经过实验发现，当销售单价为 20 元时，最多能销售 360 件，在这基础上，每提高 1 元，每月就少销售 30 件。设销售单价为 x 元，每件每月销售利润为 y 元。第一小问，请写出 y 与 x 的函数表达式，并写出自变量的取值范围。
生：读题后发现它是一个销售问题，题目的条件比较多，此时我们可以借助画记法和表格法来分析题意，更加直观清晰。审题，购进一批单价为 16 元的玩具，表明成本为 16 元。当销售单价为 20 元时，最多能销售 360 件，即售价为 20 元时，销售量为 360 件，售价减成本等于利润，此时单件的利润为 4 元。在这基础上，每提高 1 元就少销售 30 件。即售价为 21 元时，成本不变，仍然是 16 元，那么单件的利润为 4 + 1 元，销售量为 360 - 30 件。当售价为 22 元时，提高了 2 元，单件的利润也提高了 2 元，为 4 + 2 元，此时销售量为 360 - 30×2 件。现在设每件的售价为 x 元，在 20 元的基础上提高了 x - 20 元，则单件的利润也提高了 x - 20 元，为 4 + (x - 20)元，销售量为 360 - 30×(x - 20)件。因此，根据这样的表格分析每月的销售利润，它应该等于单件的利润乘以销售量，也就是 y = [4 + (x - 20)]×[360 - 30×(x - 20)]，最后整理得 -30x2 + 1440x - 15360。实际问题要考虑自变量的取值范围，这里单件的利润要大于等于 0，所以 x ≥ 16。又根据实际销售量为非负数，则 x ≤ 32，即 16 ≤ x ≤ 32。
师：第二小问，当销售单价为 25 元时，每月的销售利润为多少元？
生：即已知自变量 x = 25 时，求函数值 y，代入求得 y = 1890 元。即当销售单价为 25 元时，每月的销售利润为 1890 元。
师：第三小问，每月的销售利润能够达到 2000 元吗？
生：即已知函数值 y = 2000，求自变量 x。我们令 y = 2000，得到了一个对应的一元二次方程。解这个方程发现 Δ < 0，方程无实数根，即每月的销售利润不可能达到 2000 元。
师：由此可见，在已知函数解析式的情况下，给出自变量的值直接代入计算即可求出函数值 y，而如果已知函数值 y 代入后会得到一个关于自变量的一元二次方程，解这个方程就可以求出自变量的值。本节课的内容就学到这了，咱们来复习一下研究函数的基本思路，它是将实际问题转化为数学问题，建立函数模型。本章学习的是二次函数的模型，主要研究它的概念、图像性质，即与方程不等式的关系，再利用这些性质去解决实际问题。本节课主要学习二次函数的概念。具体的内容是二次函数的定义、二次函数各项及系数、有关二次函数的求值问题和自变量 x 的取值范围。研究的方法有，类比一次函数研究思路来学习的类比法、列表分析较复杂的应用题的列表分析法、数形结合解决矩形面积问题的数形结合法以及转化思想方法等。这是今天的作业，分为必做作业和选做作业。其中选做题请大家尝试完成问题 2 中间的延伸探究，通过描点法作图解决最大面积问题。二次函数的图像又该是怎样子的呢？让我们一起期待下节课的学习，同学们再见。