师：同学们，大家好。上节课我们学习了二次根式的定义，探究了二次根式有意义的条件。本节课我们将继续学习16.1二次根式，探究二次根式的两个性质。首先来复习一些内容，请问根号a是二次根式吗？
生：不是。
师：对，它不是二次根式，因为缺少一个必要条件，即a≥0。当a≥0时，这个二次根式才有意义。具体分析，当a＞0时，根号a＞0；当a = 0时，根号a = 0。综上所述，当a≥0时，根号a≥0，这就是二次根式的双重非负性。下面进入新课学习环节。首先请同学们根据算术平方根的意义填空，第一题，根号4平方。本题可以直接计算，因为根号4等于2，2的平方等于4。那么第二题，它还能直接计算吗？是不是碰到问题了？我们回到题意，根据算术平方根的意义填空，看看怎样解决这一题。首先理解根号2，根号2表示的是2的算术平方根，即当x平方等于2且x＞0时，x = 根号2。我们要求根号2的平方，即为x的平方，而x平方就是2。因此本题答案是2。那么根号0.1的平方又是多少呢？仿照这个思路，首先理解根号0.1是0.1的算术平方根，当x平方等于0.1且x＞0时，解得x = 根号0.1，表示0.1的算术平方根，则根号0.1的平方即为x的平方。因此本题填0.1，而根号0的平方就是0。
观察这4组数，有什么发现？
生：等号左边是平方的形式，底数都是二次根式，形如根号a的平方；等式右边恰好是根号下的被开方数。
师：由此我们总结出根号a的平方等于a。这里有什么补充条件吗？
生：a≥0。
师：对，通过上节课的学习，我们知道要满足根号a有意义，必须满足a≥0。这就是我们今天探究的二次根式的第一个性质，即当a≥0时，根号a的平方等于a。下面来看一个实例，看看同学们对这条性质是否理解。请看例一，在做题之前，先熟悉一下这个模型，只有符合这样的模型，才能用这条性质来完成。请看第一题，根号1.5的平方，对比一下，它是平方的形式，且平方下的底数是二次根式。在本题中，1.5相当于a，则根据性质，根号1.5的平方就等于1.5。再来看第二题，根号5的平方。本题也是根号a括号平方的模型，平方下为根号5，5相当于模型中的a。因此也可以用第一条性质来完成，根号5的平方等于5。那么根号 - 5的平方等于多少呢？通过之前的学习，我们知道被开方数为负没有意义，也不符合我们的性质，因此它无法完成。
接下来看第三题，负的根号0.3的平方。这个式子和以上两个式子有点区别，多了一个负号。可以将负的根号0.3看成 - 1乘根号0.3，那么负的根号0.3的平方就可以转化成 - 1的平方乘根号0.3的平方。根号0.3的平方用第一条性质求答案等于0.3，最后1乘以0.3，最终答案等于0.3。
在本题的求解过程中，运用了之前学习过的幂的运算性质，即(a×b)的n次方 = a的n次方×b的n次方。有了第3题的铺垫，同学们能完成第4题吗？二倍根号3的平方等于多少呢？二倍根号3可看成2乘根号3，则二倍根号3的平方利用幂的运算性质等于2的平方乘根号3的平方，等于4×3，最终答案为12。
有了第一条性质的探究，我们再来探究下一个性质。请同学们填空，第一题，根号下2的平方。
生：它就是根号4，化简出来答案等于2。
师：那根号下2 / 3的平方又等于多少呢？
生：根号2 / 3的平方等于根号4 / 9，答案等于2 / 3。
师：根号0.1的平方呢？
生：等于0.1。
师：那么根号0的平方又等于多少？
生：0。
师：通过以上填空，同学们有什么发现？
生：这4个填空左边都是二次根式的形式，且被开方数都是平方的形式，形如根号下a的平方；等式右边就是平方下的底数。
师：由此我们发现，当a≥0时，根号下a的平方等于a。但这里有个疑问，因为本题中根号下是a的平方，而a平方本身≥0，则a可以取任意实数。除了非负数以外，它还能取负数吗？我们来继续填空，根号下 - 2的平方以及根号下 - 0.1的平方。在这两题中a取的就是负数。第一小题，根号 - 2的平方，我们可以将其转化成根号2的平方，所以答案是2。第二小题，根号下 - 0.1的平方，也可以将其转化成根号下0.1的平方，由刚才探究的性质可知答案是0.1。
通过这两题，又有什么发现呢？
生：这两个等式左边依然是根号下a平方的模型，这两题中a取小于0的数，计算结果不是a。第一题中a为 - 2，结果为2；第二题中a是 - 0.1，结果是0.1，说明最终计算结果是a的相反数。
师：所以我们总结出，当a＜0时，根号下a的平方等于a的相反数，即为 - a。这时就可以将两个发现融为一体，即根号下a的平方应该等于a的绝对值。具体来说，当a＞0时，根号下a的平方等于a；当a = 0时，根号下a的平方等于0；而当a＜0时，根号下a的平方等于 - a，这就是二次根式的第二条性质。下面也来看一个实例，请看例2。
在解决例2时，先回顾一下第二条性质。第一小题，根号16。首先这个被开方数为16，而16是4的平方，因此根号16可以转化成根号下4的平方，满足性质2的结构。所以根据性质2，可得到根号16等于根号4的平方，等于4的绝对值。又由于4＞0，所以答案就等于其本身4。
再看第二题，根号下 - 5的平方，观察这题，本题的a是负数，所以用性质第一步可得根号下 - 5的平方应该等于 - 5的绝对值。当然也可以转化，将根号下 - 5的平方转化成根号下5的平方，两种方法计算结果都是一样的。
再来看第三小题，根号下x的4次方，首先要将x的4次方转化成平方的形式，x的4次方可以转化成x平方的平方，所以根号x的4次方等于根号下x平方的平方。根据性质二，首先将其转化成x平方的绝对值。再来探究，因为绝对值里面的式子是x平方，而x平方≥0，因此这个绝对值化简的最终答案为x平方。下面进入练习环节，在练习之前，请同学们再熟悉一下这两条性质，千万不能混淆。
这两条性质从表面看，左边式子最大的区别就是平方的位置，一个平方在根号外面，一个平方在根号里面。老师有个小技巧，“外易内难”。平方在外面很简单，直接根号与平方抵消就等于a，当然有个必要条件，即a≥0；平方在里面相对比较难，首先去掉根号和平方之后等于a的绝对值，接着还要根据绝对值里面式子的正负性进行下一步化简。
通过“外易内难”这个小口诀，同学们能不能解决实际问题呢？请同学们和老师一起来完成练习环节。请看第一小题，根号3的平方。在本题中，首先它符合“外易”，所以可以利用第一条性质来完成，即根号3的平方等于3。再看第二题，三倍根号2的平方。本题也符合“外易”的情况，也可以用第一条性质来完成。但完成这题时，还记得刚才总结的方法吗？首先3倍根号2是3乘根号2，还要利用幂的运算性质来完成，即3倍根号2的平方等于3的平方乘根号2的平方。接着利用性质一求得根号2的平方是2，所以等于9×2，最终结果等于18。