师：同学们好，这节课我们一起学习初中数学人教版八年级上册13章13.3等腰三角形第二课时。首先，我们来看一个图形。大家想想，直线平行，同位角相等；两直线平行。第一句由平行推同位角相等，第二句由同位角相等推两直线平行。显然，第一句是平行线的性质，第二句是平行线的判定。
大家还记得七年级时，我们是先学习哪个，性质还是判定？
生：先学习判定，后学习性质。
师：大家发现了没有，判定与性质的条件和结论正好交换了位置。那么，请大家类比思考，我们已经研究了特殊三角形等腰三角形的性质，接下来要研究什么？
生：等腰三角形的判定。
师：要提出等腰三角形的判定猜想，需要从哪里着手？
生：从定义出发，有两条边相等的三角形是等腰三角形，这可以作为判定依据。
师：没错，其次还能从性质着手，交换性质定理的条件和结论。上节课我们学习了等腰三角形的性质“等边对等角”，由条件AB = AC得出结论∠B = ∠C ，交换条件和结论位置得到什么命题？
生：由条件∠B = ∠C推出结论AB = AC 。
师：于是我们可以猜想判定是“三角形中等角对等边”。也就是在△ABC中，如果∠B = ∠C ，那么AB与AC相等吗？怎样验证这个问题呢？
生：可以用直尺测量，测量后发现AB = AC 。
师：用测量验证这个判定猜想显然不够，我们还需要进一步证明。有∠B = ∠C推出AB = AC ，我们是否可以尝试利用全等呢？显然需要先构造全等三角形，要做辅助线。如何做呢？请同学们想一想。
生：结合前面学的等腰三角形是轴对称图形和三线合一性质，可以尝试做∠BAC的角平分线AD 。
师：这里∠1 = ∠2，∠B = ∠C ，AD为公共边，这是用到了哪种判定方法？
生：角角边。
师：我们还可以做AE⊥BC 。这里∠AEB = ∠AEC = 90°，∠B = ∠C ，AE为公共边。这又是用到了哪种判定呢？
生：角角边。
师：那如果添加BC边上的中线AF这条辅助线可以吗？这里BF = CF，∠B = ∠C ，AF为公共边，这三个条件可以证明全等吗？
生：不可以，因为这里的边角不能用来判定两个三角形全等。
师：下面我们一起来看一下这两种证明过程。
证法一：证明，过点A作AD平分∠BAC交BC于点D ，所以∠1 = ∠2 。在△ABD和△ACD中，∠B = ∠C ，∠1 = ∠2，AD = AD ，所以△ABD≌△ACD（AAS）。所以AB = AC ，△ABC是等腰三角形。
证法二：证明，过点A作AE⊥BC交BC于点E ，所以∠AEB = ∠AEC = 90°。在△ABE和△ACE中，∠B = ∠C ，∠AEB = ∠AEC，AE = AE 。所以△ABE≌△ACE（AAS），所以AB = AC ，△ABC是等腰三角形。
师：好，这样我们就得到等腰三角形的判定方法。如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简写成“等角对等边”。注意，这又是一个判定两条线段相等的依据之一。用几何语言表示为，在△ABC中，因为∠B = ∠C（已知），所以AC = AB（等角对等边），△ABC为等腰三角形。注意，这里两个等角要在同一个三角形中哦。
请看下列推理正确吗？第一个图形由∠1 = ∠2推出BD = DC ；第二个图形由∠1 = ∠2推出DC = BC ，理由都是“等角对等边”。
生：都不正确，因为这里两个等角都不是同一个三角形的内角。
师：同学们判断正确。接下来我们从条件、结论、简称和符号语言四个方面来说明等腰三角形的性质和判定的区别与联系。先看性质，条件是在一个三角形中如果有两条边相等，结论是这两条边所对的两个角相等，简称“等边对等角”。符号语言是在△ABC中，因为AB = AC ，所以∠B = ∠C 。再来看判定，条件是在一个三角形中如果有两个角相等，结论是这两个角所对的两条边相等，简称“等角对等边”，符号语言为在△ABC中，因为∠B = ∠C ，所以AB = AC 。概括一下，它们的区别是等腰三角形的性质是由两条边相等推出两个角相等，而判定则是由两个角相等推出两条边相等。它们的联系是都指同一个三角形中的边角关系。下面我们归纳下如何判定一个三角形是等腰三角形。
判定方法一：定义法，即有两条边相等的三角形是等腰三角形。判定方法二：“等角对等边”。同学们都清楚了吗？接下来我们学以致用，来看例一。
求证，如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。这个命题的题设是什么？
生：三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边。
师：结论是什么？
生：这个三角形是等腰三角形。
师：我们来画出图形。先请同学们结合图形写出已知和求证，与老师写的对照下。
已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1 = ∠2，AD∥BC 。
求证：AB = AC 。
师：我们来分析下，要证明相等的两条线段AB、AC在同一三角形中，是否可以利用“等角对等边”，通过∠B = ∠C来证明呢？同学们先思考下。
生：AD∥BC可同时推出∠1 = ∠B ，∠2 = ∠C 。又因为∠1 = ∠2，所以∠B = ∠C ，所以AB = AC 。
师：请同学们写出证明过程，这里老师也给出了证明过程，我们一起来看看。
证明：因为AD∥BC ，所以∠1 = ∠B ，∠2 = ∠C 。又因为∠1 = ∠2，所以∠B = ∠C ，所以AB = AC（等角对等边）。
在这里，由已知条件角平分线（∠1 = ∠2）和AD∥BC推出△ABC为等腰三角形，这种情况比较常见。老师给同学们点睛：角平分线与平行线相遇会出现等腰三角形。同学们，我们一起说：角平分线与平行线相遇会出现等腰三角形。下面我们来看练习。