师：同学们好，今天我们来学习函数的最大、最小值与导数的第二课时。上节课我们已对函数的最值进行了研究，下面一起来思考几个问题。
第一个问题，函数的最大值与最小值的定义是什么？通过之前的学习我们知道，如果函数的定义域为(I)，若存在(x_0\in I)，使得对于任意(x)都有(f(x)\leq f(x_0))成立，则称(f(x_0))为函数(f(x))的最大值。相应地，如果对于定义域内任何一个(x)都有(f(x)\geq f(x_0))，则称(f(x_0))为函数(f(x))的最小值。
那么函数的最大值和最小值具有怎样的几何特征呢？大家思考一下。函数的最大值的几何特征就是函数图像最高点的纵坐标，函数的最小值的几何特征就是函数图像最低点的纵坐标。
下面看问题二，函数在闭区间上一定能取得最大值和最小值吗？通过前面的学习我们知道，如果一个函数在闭区间上的图像是一条连续不断的曲线，那么它一定有最大值和最小值。
再来看看第三个问题，求函数在闭区间上的最大值和最小值的步骤是什么？大家回顾一下。
我们知道求函数在闭区间([a,b])上的最值主要分两步：第一步，先求函数(y = f(x))在区间((a,b))内的极值；第二步，将函数(y = f(x))的各极值与端点处的函数值(f(a))和(f(b))进行比较，最大的一个是它的最大值，最小的一个是它的最小值。
今天这节课我们继续研究函数的最值与导数，下面通过三个题型来展开。首先来看题型一，求函数的最值。
例1，第一小题，求函数(f(x)=6 - 12x + x^3)，(x\in[-5,-2])的最值。同学们思考一下如何求这个函数在给定区间上的最值呢？有同学想到，关键要求出这个函数在该区间上的极值以及它的单调性，一般采用导数的方法。下面我们先来求导数，对(f(x))求导后发现可以因式分解，令(f^\prime(x)=0)，发现它有两个根。
那么在([-5,-2])这个区间上有没有极值点呢？我们很容易发现它没有极值点，也就是说这个函数在([-5,-2])这个区间上是单调函数。到底是单调递增还是单调递减呢？一种方法是通过解不等式(f^\prime(x)>0)或者(f^\prime(x)<0)直接求出它的单调递增和单调递减区间，解不等式时可以采用直接求解方法，也可以借助导函数的图像，这里导函数是一个熟悉的二次函数。下面我们来看导函数的图像。
由图像可以发现，当(x\in[-5,-2])时，导函数恒大于等于(0)，且只有当(x = -2)时，导函数为(0)。所以这个函数在([-5,-2])上为单调递增函数，那么它的最小值就是(f(-5))，最大值是(f(-2))。通过计算得到(f(-5)= -59)，(f(-2)=22)，所以这个函数在该区间上的最小值和最大值分别为(-59)和(22)。
下面看例1的第2小题，求函数(f(x)=6 - 12x + x^3)，(x\in[0,3])上的最值。这个题目与第一小题函数对应关系相同，但定义域不同。如何求这个函数在该区间上的最值呢？同理，关键要找到函数在([0,3])上的极值点。通过解方程发现它仍然有两个根，但只有一个根(x = 2)在这个区间内。同学们，(x = 2)是这个函数的极值点吗？要确定(x = 2)是否为函数的极值点，需要进一步检验在(x = 2)左右两侧导数的正负，或者确定函数在(2)左右两侧的单调性是否发生变化，这里我们结合导函数的图像来分析。通过导函数图像发现，当(x\in[0,2])时，导函数是负的，(x\in[2,3])时导函数是正的。所以原函数在([0,2])上为减函数，在([2,3])上为增函数，这个函数就有一个极值(f(2))。
那么(f(2))这个极小值是否是函数的最小值呢？我们可以想象函数的图像，它先减后增，大致像二次函数抛物线的形状，所以这时候函数的最小值就是(f(2))。通过计算得到(f(2)= -10)。同学们肯定会想这个函数有没有最大值，因为函数的定义域是开区间，(0)和(3)都不在定义域内，所以这个函数没有最大值。
第三小题，求函数(f(x)=6 - 12x + x^3)，(x\in[-5,3])的最值。与前两题相比，函数对应关系相同，定义域又发生了变化。如何求这个函数在该区间上的最值呢？还是用导数的方法求极值点和单调性。求完导数发现仍然有两根，且都在([-5,3])这个区间内。(-2)和(2)是否为这个函数在该区间内的极值点呢？通过解不等式或者利用导函数的图像来分析，借助导函数图像可以发现，当(x\in[-5,-2])时，导函数为正；(x\in[-2,2])时，导数为负；(x\in[2,3])时，导函数为正。所以这个函数在([-5,-2])上是增函数，([-2,2])上是减函数，([2,3])上为增函数。同学们结合这个函数的单调性，在草稿纸上大致画出原函数的图像。
同学们画好了，下面一起来看看老师画的图像。画图像时，除了注意单调性，还要注意一些特殊点，比如图像与坐标轴的交点以及极值点。借助图像很容易发现函数的最高点对应的纵坐标为(f(-2))，最低点对应的纵坐标为(f(-5))，所以它的最大值就是(f(-2))，最小值就是(f(-5))。
当然也可以通过上节课所学的方法，求出极值和端点处的函数值，比较大小，最大的是最大值，最小的是最小值。通过求解得到(f(-2)=22)，(f(-5)= -59)，所以可以求出这个函数的最大值和最小值。下面是对例1第三小问的具体求解过程。
第一步求导数，然后令(f^\prime(x)=0)解出根，在列表之前先确定函数的单调性，确定单调性可以通过直接解不等式的方法，也可以利用导函数的图像。确定好后列表，求出极值和端点处的函数值，通过比较极值和端点处函数值的大小关系，确定函数在闭区间上的最大值和最小值。
通过例1这三个问题的求解，我们来归纳总结一下如何求函数在某一个区间上的最值。第一步，研究函数的单调性；第二步，求解函数的极值；第三步，寻找极值与区间端点函数值的大小关系；第四步，确定函数在该区间上的最值。这就是求函数在某一个区间上最值的方法。
下面来看例2，求函数(f(x)=\frac{x^3}{3}-ax)在区间([0,2])上的最小值。这个函数还是三次函数，但含有一个参数，这就是我们今天要讲的第二个类型——含参函数的最值问题。大家思考一下如何求这个函数在该区间上的最小值。
有同学说，还是求函数的极值和单调性，用导数的方法。先求导数，发现导函数是熟悉的二次函数，但含有参数(a)。
含有参数(a)时，方程(f^\prime(x)=0)的根有哪些情况呢？对于二次函数图像与(x)轴交点个数，我们知道有三种情况：没有交点、一个交点、两个交点。现在如何画出导函数的图像呢？发现它与(a)的取值有关，会随(a)的改变而变化。
下面通过几个画板来画导函数图像和相应的原函数图像。当(a = 0)时，导函数图像与(x)轴恰好有一个交点，且当(x\in(0,2))时，导函数恒为正，说明原函数是增函数，最小值在(f(0))处取得。
除了导函数图像与(x)轴一个交点的情况，还有没有其他情况呢？肯定想到还有可能没有交点以及有两个交点。下面分析在什么情况下与(x)轴没有交点。当(a < 0)时，导函数图像与(x)轴没有交点，此时在区间([0,2])内，导函数恒大于(0)，原函数在([0,2])上是增函数，最小值也是(f(0))。相应地，(a = 0)时一个交点，(a < 0)时没有交点，那么(a > 0)时，导函数图像与(x)轴有两个交点，交点横坐标是(\sqrt{a})。当(x\in(0,\sqrt{a}))时，导函数恒为负；当(x\in(\sqrt{a},2))时，导函数恒为正，所以函数先减后增，有一个极小值，这个极小值就是函数的最小值，即最小值为(f(\sqrt{a}))。
除了这种先减后增的情况，还有其他情况吗？当(a)增大，(\sqrt{a})往右移动，当(a = 4)时，(\sqrt{a})恰好与(2)重合。此时当(x\in(0,2))时，导函数恒为负，只有(x = 2)时导函数为(0)，结合原函数图像，发现函数在([0,2])上为减函数，所以最小值为(f(2))。
如果(a)继续增大，(\sqrt{a} > 2)，当(x\in(0,2))时，导函数恒为负，原函数在该区间上仍然为减函数，最小值还是在(f(2))处取得。
结合刚才画板的演示，我们来分析例2的求解方法和过程。例2是含参函数的最值问题，通过几何画板演示画了导函数和原函数两个图像。研究导函数图像时分了三种情况，观察它与(x)轴有一个焦点、没有焦点和两个焦点的情况。当导函数图像与(x)轴没有交点时，在([0,2])上导函数恒为正，函数在([0,2])上为增函数，最小值在(f(0))处取得。
第二种情况，当(a = 0)时，导函数图像与(x)轴恰好有一个交点，在([0,2])上导函数大于等于(0)，函数在([0,2])上也是增函数，最小值为(f(0))。这两种情况可以合并，即当(a\leq0)时，(f^\prime(x)\geq0)在区间([0,2])上恒成立，函数(f(x))在区间([0,2])上单调递增，所以(f(x))的最小值为(f(0)=0)。
第二种情况，当(a > 0)时，结合导函数的解集，令(f^\prime(x)=0)，发现有两个根，但只有(\sqrt{a})可能在([0,2])内。这个根在不在([0,2])内，函数在区间([0,2])上的最小值是不同的。
所以又分两种情况，当(\sqrt{a}\in(0,2))，即(0 < a < 4)时，结合导函数图像，函数在([0,\sqrt{a}])上为减函数，([\sqrt{a},2])上为增函数，有唯一极小值，函数最小值为(f(\sqrt{a}))。
第三种情况，当(\sqrt{a}\geq2)，即(a\geq4)时，结合导函数图像，当(x\in(0,2))时，导函数小于等于(0)，原函数在([0,2])上单调递减，最小值在(f(2))处取得。
通过这个问题可以发现，关键是要讨论。分两个层次，第一个层次讨论函数在整个定义域上是否单调，如果单调，那么在所求区间上也是单调函数；第二个层次，如果在整个定义域上不单调，就要进一步分析在所求区间上是否单调，或者讨论函数在所求区间上是否有极值点。如果有极值点，就求极值；如果没有极值点，说明在所求区间上也是单调的，直接利用单调性求解。第一种情况相当于函数在([0,2])上有极值点，第二种情况相当于函数在([0,2])上没有极值点，利用单调性求解。同学们通过这样的分析，能否写出求解过程呢？下面一起来看看例2具体的求解过程。
下面总结一下含参函数最值问题的求解方法。第一步，讨论含参函数的单调性，看函数在给定区间上是否单调，如果单调，直接用单调性求最值；如果不单调，说明函数在该区间上有极值点。第二步，求解函数的极值点。第三步，比较极值与端点处函数值大小。第四步，确定函数的最值。这里要注意分类讨论思想的运用。
下面来看类型三，函数最值的应用。例3，求证：当(x > 0)时，(\ln x\leq x - 1)。要证明这个不等式，先回顾一下前面证明不等式的一般方法。观察发现不等式两边都有(x)，所以把含有变量的式子移到不等号一边，转化成(\ln x - x + 1\leq0)。要证明这个式子小于等于(0)，可以构造一个函数，令(f(x)=\ln x - x + 1)，现在问题就转化成证明(f(x)\leq0)，只要证明函数(f(x))的最大值小于等于(0)就可以了。下面看具体求解过程。
首先构造函数(f(x)=\ln x - x + 1)，求这个函数的最大值用导数的方法。先求导数，再求函数的极值点和单调性，可以直接解不等式，也可以借助导函数的图像。这里用导函数图像分析，通过导函数图像发现，当(x\in(0,1))时，导数为正；当(x\in(1,+\infty))时，导函数为负。所以函数在((0,1))上为增函数，在((1,+\infty))上为减函数。
同学们结合函数单调性在下面大致画出原函数的图像。好，同学们画好了。下面一起看原函数图像，它先增后减，要注意极大值点(f(1))恰好等于(0)。通过图像发现函数有最大值(0)，所以(f(x)\leq0)。下面看具体求解过程。
因为函数在((0,+\infty))上有最大值(f(1))，且(f(1)=0)，所以(\ln x - x + 1\leq0)，从而证明了(\ln x\leq x - 1)。
下面看例4，若不等式(e^x > x + a)在(R)上恒成立，求参数(a)的取值范围。看到这个问题，同学们思考一下，这是一个不等式恒成立问题。对于不等式恒成立问题，一般采用分离参数的方法。把(x)移到不等号左边，将不等式转化成(e^x - x > a)在(R)上恒成立。分离参数后，构造函数(f(x)=e^x - x)，要使不等式恒成立，只要(a < f(x))的最小值就可以了。
下面用导数的方法求这个函数的最小值，求导得到(f^\prime(x)=e^x - 1)。再求函数的单调性和极值，可以通过解不等式或者导函数图像求解。画出导函数图像，发现当(x\in(-\infty,0))时，导函数为负；当(x\in(0,+\infty))时，导函数为正。所以函数在((-\infty,0))上是减函数，在((0,+\infty))上为增函数，能大致画出原函数图像，且(f(0)=1)。通过原函数图像得到函数的最小值为(1)。所以要使不等式恒成立，只要(a < 1)。下面用导数方法求函数最值的过程。
要使(f(x) > a)恒成立，即(f(x))的最小值大于(a)，而(f(x))最小值为(1)，所以(a < 1)。
例3和例4主要讲了函数最值的两个应用。第一个是不等式的证明问题，对于(f(x) > g(x))这样的不等式，可以先化成(f(x) - g(x)>0)，然后构造函数，用导数方法求这个函数的最小值。第二个是不等式的恒成立问题，一般优先考虑参变分离，然后构造函数转化成函数的最值问题。如果不能参变分离，就直接构造函数，再求函数的最大值或最小值。
通过这节课的学习，下面对内容进行小结。从三个角度小结：探究过程、探究内容、思想方法。
探究过程，通过具体实例，形成利用导数求函数最值的方法以及函数最值的常见应用。
探究内容主要有三个题型。第一个题型是利用导数求函数在某区间上的最值问题；第二个题型是含参函数最值问题；第三个题型是函数最值的简单应用。
思想方法主要有三种，一种是分类讨论思想，第二种是数形结合思想，第三种是转化划归思想。
今天的课堂作业是这4个问题，请大家课后完成。今天就讲到这里，同学们再见。