师：各位同学，大家好。今天我们来学习北师大版八年级数学上册第二章第七节二次根式的第二课时。首先思考这样一个问题：某手机操作系统的图标为圆角矩形，长为根号5厘米，宽为根号3厘米，它的面积是多少呢？我们知道长方形面积等于长乘宽，所以它的面积等于根号5乘以根号3。那该如何计算呢？这就是我们这节课要讨论的问题。首先，请同学们根据所学知识计算下列各式。
第一题，根号4乘以根号9，表示4的算术平方根乘以9的算术平方根，也就是2乘以3，结果为6；根号下4乘以9，表示4乘以9的算术平方根，结果也为6。根号16乘以根号25，即4乘以5，等于20；根号下16乘以25，等于根号400，结果也是20。根号25乘以根号36，5乘以6得30；根号下25乘以36，结果同样是30。通过计算，你们有什么发现呢？
生：每组式子的结果都相等。
师：对，由此我们得到下面三个等式。大家发现了什么规律？能用字母表示所发现的规律吗？
生：等号左边都是算术平方根乘积的形式，右边都是积的算术平方根的形式。可以用根号a乘以根号b等于根号下a乘以b来表示，这里a和b均大于等于0。
师：非常好。这个式子和我们上节课学过的算术平方根公式有什么关系呢？
生：它们是互逆的关系。
师：没错，由此我们得到了二次根式的乘法则。用文字叙述就是：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根。大家注意，a和b都必须是非负数。下面我们利用二次根式的乘法则来进行计算。
第一题，根号3乘以根号5，直接利用乘法则，结果等于根号15。第二题，同样直接利用二次根式的乘法则，等于根号下1/3乘以27，即根号9，结果为3。以上是两个二次根式相乘，那如果是三个甚至更多个二次根式相乘，该如何计算呢？比如根号2乘以根号3乘以根号5。
生：可以先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法则。先算根号2乘以根号3等于根号6，再算根号6乘以根号5，结果等于根号30。
师：观察得很仔细。等号右边被开方数等于左边被开方数的乘积。所以，二次根式的乘法则同样适用于3个及三个以上的二次根式相乘，根指数不变，只要将被开方数相乘就行。下面请同学们练习一下，和老师的答案对照。
第一题，计算根号12乘以根号1/2，根指数不变，被开方数12和1/2相乘，结果等于根号6。第二题，下列式子结果正确的是，答案选B，根号5乘以根号2等于根号10。第三题，根号5乘以根号10乘以根号8，根指数不变，被开方数相乘，结果等于20。
好，以上二次根式的系数都是1，如果系数不是1，该怎么计算呢？比如二倍的根号5乘以三倍的根号7。在计算前，我们先回顾一下单项式与单项式相乘的法则。单项式与单项式相乘，先将系数和系数相乘，再将相同字母相乘。比如4A2乘以5A?，结果等于20A?。
下面类比单项式乘单项式的法则来计算系数不为1的二次根式的乘法。第一题，2倍的根号5乘以3倍的根号7，先将系数和系数相乘，根式和根式相乘，等于6倍的根号35。第二题，4倍的根号27乘以（ - 1/2倍的根号3），先将系数和系数相乘，因式和因式相乘，结果等于 - 2乘以根号81，也就是 - 18。所以，当二次根式根号外的系数不为1时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即m倍的根号a乘以n倍的根号b等于mn倍的根号ab，这里a和b均大于等于0。下面请同学们仿照例题，计算下列各式，和老师的答案对照。
第一题，5倍的根号12乘以4倍的根号27，先将系数和系数相乘，根式和根式相乘，得到5乘以4乘以根号下12乘以27。再把被开方数拆成可开得尽方的因数乘积形式，即20倍的根号下4乘以3乘以3乘以9，结果等于20乘以18，得360。
第二题，根号6乘以根号15乘以根号10，根指数不变，将被开方数相乘，得到根号下6乘以15乘以10。然后把被开方数拆成可开得尽方的因数乘积形式，即等于根号下（2乘以3乘以5）2，结果等于根号302，等于30。算对了吗？接下来我们探究二次根式的除法则。请同学们根据所学知识计算下列各式。
根号4除以根号9，表示4的算术平方根除以9的算术平方根，结果等于2除以3，即2/3；根号下4/9，表示4/9的算术平方根，也等于2/3。以此类推，根号16比上根号25，等于4÷5，即4/5；根号下16/25等于4/5。根号36比上根号49，等于6÷7，即6/7；根号下36/49等于6/7。通过计算，你们发现了什么？
生：每一组式子的结果都相等。
师：对，由此我们得到下面三个等式。大家发现什么规律？能用字母表示吗？
生：等号左边都是算术平方根商的形式，右边都是商的算术平方根的形式。可以用根号a比上根号b等于根号下a比上b来表示，这里a大于等于0，b大于0。
师：很好，由此我们得到二次根式的除法法则。用文字叙述就是：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根。当二次根式根号外的系数不为1时，类比单项式除以单项式法则，可得m倍的根号a比上n倍的根号b等于m比n倍的根号下a比上b，这里a大于等于0，b大于0，n不等于0。下面借助二次根式的除法法则进行计算。
第一题，根号6乘以根号3比上根号2，先算分子，利用二次根式乘法法则等于根号6乘以3，再利用除法法则等于根号下6乘以3比上2，即根号9，最终结果等于3。第二题，根号2比上根号5，利用二次根式除法法则等于根号下2/5。因为被开方数含有分母，不是最简二次根式，利用分数性质，将被开方数分子分母同时乘以5，结果为5分之根号10。大家要注意，最终结果要化为最简二次根式，且分母不能有二次根号。下面请同学们仿照例题计算下列各式，和老师的答案对照。
第一题，根号32除以根号2，利用二次根式除法法则等于根号16，结果为4。第二题，根号50比上根号10，利用除法法则等于根号下50÷10，结果为根号5。第三题，利用除法法则，结果为根号6。算对了吗？以上我们探究了二次根式的乘除法，下面探究二次根式的加减运算。首先请同学们回顾单项式的加减运算，比如如何计算3X2加上2X2。