师：各位同学，大家好。今天我们学习九年级上册第四章图形的相似回顾与思考。请结合本单元学习内容，想一想图形相似的研究路径是什么？说一说路径中的每一部分包含哪些知识？我们学习了形状相同的图形、线段的比、成比例线段、比例的性质、相似图形、相似多边形、相似三角形的判定定理、相似三角形的性质定理，还有相似三角形的应用，比如测量旗杆的高度、黄金分割、图形的位似、图形放大或缩小、顶点坐标的变化与图形位似的关系。下面我们带着这些知识进行数学活动。先看第一个问题：在三角形ABC中，D为边AB上一点，若AD = 5，DB = 10，AC = 12。求作点E，使E点在边AC上，并且使三角形ADE与三角形ABC相似。
生：经过作图，用平行相似和斜交相似，我们得到了图一、图2 “I”型的相似。
师：如果题目改为D为直线AB上一点，求作点E，使E点在直线AC上，又会产生什么样的图形？
生：这样除了会有图一、图2的 “I” 型相似外，还会增添图3、图4 “8” 字形相似。这四个基本图形是我们学习相似三角形中常见的图形。
师：下面我们对这四个基本图形进行变式处理。我们先对图2进行特殊化处理，将DE向下平移时，点E与点C重合，那么就可以得到母子相似的图形。继续特殊化处理，首先特殊化角，当角ACB = 角CDB = 90度时，得到图6。图6中有几对相似三角形呢？还可以得到哪三个比例中项的数学式子？这些特殊的等比式能证明勾股定理吗？
生：我们容易得到三角形ACB相似于三角形ADC相似于三角形CDB。由三角形ACB相似于三角形ADC，根据相似三角形的性质，我们能够得到比例中项的数学式子：AC比AD = AB比AC。又由这个比例式子得到等积式：AC的平方 = AD乘以AB。用同样的方法可以得到下面的比例式及对应的等积式。
师：在这三个等比式中，哪些等比式是可以证明勾股定理的？
生：显然第一个等积式，第二个等积式中有直角三角形ABC两个直角边的平方。那么第一个等式加上第二个等式就可以得到AC的平方加上BC的平方 = AB的平方。这样用相似证明了勾股定理。
师：在图6的基础上进行变形，若E为AC的中点，连接ED并延长交CB的延长线于点F，得到图7。图7中哪一个三角形与三角形CDF相似？
生：从图形上看，先猜测三角形DBF与三角形CDF相似。这两个三角形中有一个公共角F，再有一个角即可。看题目中给的条件，E是直角三角形ADC斜边上的中点，想到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。那么三角形DEA就为等腰三角形，ED = EA = 1/2 AC，所以角A = 角EDA。再根据对顶角相等，角A = 角BDF，我们很容易证明角A = 角BCD，所以角BCD = 角BDF。还有公共角角F = 角F，所以三角形DBF相似于三角形CDF。
师：我们对图5的角做了特殊化的处理，现在我们再对它的边做特殊化处理。若AB = AC，角BAC = 36度，CD平分角ACB，得到图8。其中线段AD、BD、AB之间有怎样的比例关系呢？你能联想到哪些知识？
生：所以BC比BD = BA比BC，所以BC的平方 = BD乘以AB。已知BC = CD = AD，所以AD的平方 = BD乘以AB，故点D是线段AB的黄金分割点。这是我们见过的黄金三角形。
师：还有其他形式的黄金三角形存在吗？在三角形ABC中，当AB = AC，角BAC = 108度，BD = BA，形成图9。这种黄金三角形，同学们可以试着证明D点是线段BC的黄金分割点吗？
生：（此处学生未作答，假设学生课后思考）
师：上面我们分别对图2进行了角、边的处理，如果我们再将边和角同时特殊化，即BC = AC，角ACB = 90度，又会产生什么样情况呢？
生：这样三角形ABC就是一个等腰直角三角形了，与前面图6类似。证明得到三角形ADC相似于三角形BDC相似于三角形ACB。其中有三角形ADC全等于三角形BDC，全等是相似的特殊情况。
师：对图5进行强化条件，如果CD、BE分别是三角形ABC两条高且相交于点O，D、E为垂足，连接DE，得到图11。三角形ADE相似于三角形ABC吗？说出你的理由。
生：三角形ADE相似于三角形ABC。理由如下，因为CD、BE分别是AB、AC上的高，所以角ADC = 角AEB = 90度。又因为角CAD = 角BAE，所以三角形ACD相似于三角形ABE。所以AD比AE = AC比AB，即AD比AC = AE比AB。又因为角DAE = 角CAB，所以三角形ADE相似于三角形ABC。