师：同学们，今天我们一起来学习高中物理必修2第四单元第六节——验证机械能守恒定律。通过上节课的学习，我们知道在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，且总的机械能保持不变。当物体除受重力或弹力外，还受其他力，但其他力不做功时，物体的机械能也守恒。
根据机械能守恒的定义，其表达式有两种形式：一是物体初状态的总机械能等于末状态的总机械能，即$\frac{1}{2}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgh_2$ 。此表达式涉及物体初末状态具体重力势能的计算，所以需要设定零势能参考面。
另一种形式是将物体运动过程中机械能守恒理解为减少的势能等于增加的动能，或减少的动能等于增加的势能。因为涉及的是势能变化量，不是势能绝对值，所以这种形式无需设置零势能参考面。在解决实际问题时，我们常用第二种表达形式。
这节课我们的目的是验证机械能守恒。同学们想一想，生活中有哪些满足机械能守恒条件的物体运动形式呢？
生：忽略空气阻力时做自由落体运动的物体，因为只有重力做功，满足机械能守恒条件。
师：非常好。还有吗？
生：在光滑斜面上，物体从顶端滑到底端，受重力和支持力，但支持力不做功，该运动过程也满足机械能守恒条件。
师：没错。还有其他的吗？
生：在绳子约束下，小球在竖直面内做圆周运动，绳子拉力始终与速度垂直，只有重力对小球做功，同样满足机械能守恒条件。
师：很棒。还有一种，在光滑水平面上，一端与弹簧相连的小球，运动过程只受弹簧弹力作用，小球和弹簧组成的系统机械能守恒。
我们看到，有很多运动过程都能满足机械能守恒条件，都可用来设计验证实验。那么，根据机械能守恒的两种表达形式，我们需要测量哪些物理量来验证呢？
生：需要测量物体的质量、运动速度以及物体运动过程中的高度或高度变化。
师：对。不过，当我们把这两个表达式中的$m$约掉后，等式依然成立。所以，验证机械能守恒时，$m$这个物理量可以不用测量。但如果想测量具体的机械能数值，那就需要测量物体质量了。
接下来，我们看看选择哪些恰当工具来测量所需物理量。对于高度或高度变化的测量，我们可以用刻度尺。那对于速度的测量，大家想想可以用哪些工具？
生：可以用打点计时器记录物体运动信息，进而测量物体运动速度。
师：非常好。与打点计时器类似的还有频闪照相的方法。除此之外，还能用光电门测量物体运动速度。除了这三种，还有其他办法吗？我们学过平抛运动，能否将物体运动初速度的测量转换为平抛运动位移的测量呢？学过圆周运动，是不是也能将速度测量转化为力和加速度的测量？当然，肯定还有很多其他方法，大家课后可以继续思考。
有了运动情境和测量方法，现在我们来设计实验方案。如果选择自由落体运动来设计实验，利用打点计时器测速度，搭建这样一个实验装置：让重物做自由落体运动，同时打点计时器记录物体运动信息，得到一条清晰纸带。我们将$O$点设为物体运动起点，此时速度为$0$。从$O$点后选取某点定为$1$，接着每隔相同时间$t$，标定$2$、$3$、$4$、$5$等计数点。
如果要验证$O$点到$4$点的机械能守恒，根据机械能守恒表达式$\frac{1}{2}mv_4^2 - \frac{1}{2}mv_1^2 = mg h_1 - mg h_2$ ，实际上验证的是$\frac{v_4^2}{2} = gh_4$ 。因为重物做匀变速直线运动，根据中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度，可得到重物经过$4$点的瞬时速度$v_4 = \frac{h_5 - h_3}{2t}$ 。
这种验证方法要求$O$点速度从$0$开始。但如果纸带不能确定起点，也就是不知道打的第一个点是不是$O$点，我们也能验证机械能守恒。此时可以从$2$点到$4$点这一段距离来验证物体在该段运动过程中的机械能守恒，表达式就变为$\frac{1}{2}(v_4^2 - v_2^2) = g(h_4 - h_2)$ 。其中$2$点的速度$v_2$也可用类似方法求得，即$v_2 = \frac{h_3 - h_1}{t}$ 。
下面我们来做这个实验。根据刚才分析，所需实验器材有铁架台、电火花打点计时器、刻度尺、重物、纸带、$220$伏$50$赫兹的交流电。实验步骤如下：
第一，安装好打点计时器，将纸带穿过打点计时器下端并与重物相连。接通电源前，用手提升纸带，使重物靠近打点计时器。
第二，先接通电源，待打点计时器稳定后，再释放纸带，让重物自由下落，之后关闭电源，取下纸带备用。
第三，重复前两个步骤，打出几条纸带，选取点迹清晰的纸带使用。
最后，整理好所有器材。
我们在实验室拍了做这个实验的视频，接下来请大家观看。（播放视频）
现在我们来处理刚才得到的纸带。将起始点标为$O$点，重物在$O$点速度为$0$。从某一点选为$1$点，然后每隔相同时间间隔，这里我们每隔一个点取一个计数点，即$1$和$2$、$2$和$3$等计数点之间的时间间隔都是$0.04$秒。如果要验证从$0$到$4$这些点的机械能守恒，用刻度尺测量出$3$、$4$、$5$三个点到$O$点的距离，记录在如下表格。根据中间时刻瞬时速度等于这段时间平均速度，算出$4$点速度是$2.57$米每秒。由此算出$4$点动能$\frac{1}{2}mv_4^2 = 3.2025m$ 。从$0$到$4$物体重力势能的减少量是$mgh_4 = 3.3377m$ 。可以看到，在误差允许范围内，重力势能的减少和动能增加近似相等。用同样方法可计算其他点的速度以及对应的重力势能减少量。
从另一个角度看，如果物体在这个过程中机械能守恒，那么从$O$点到各个计数点是不是都应满足$\frac{v^2}{2} = gh$ ，即高度和对应点速度应一一对应。所以我们可以做$\frac{v^2}{2}$和$h$的函数图像，计算图像斜率。如果斜率$k = g$（当地重力加速度），就能验证机械能守恒。用刻度尺测量从起点到各计数点的距离，算出各点速度，得到这样一个表格。利用表格数据画出$\frac{v^2}{2}$与$h$的函数图像，计算出图像斜率是$9.709$。广州的重力加速度是$9.788$，相比可知误差很小。所以重物下落过程中，物体机械能守恒。但从刚才数据能发现，虽然重力势能减少几乎等于动能增加，但重力势能减少量总是稍大于动能增加量。而且从$\frac{v^2}{2}$和$h$的图线来看，测量的重力加速度值也偏小。