师：同学们，今天我们学习高一粤教版物理必修 2 第四单元第七节“生产生活中的机械能守恒”。物体的运动往往伴随着能量的转化，大家看这几幅图片：蹦床运动员从最低点上升到最高点的过程中，存在弹性势能、动能、重力势能的转化；蹦极运动员从高台向下跳，下降到最低点的过程中，也存在重力势能、动能、弹性势能之间的转化；工地上的打桩机是将桩锤的重力势能转化为动能；游乐场上升的过山车是将动能转化为重力势能。滑雪比赛中，运动员在俯冲腾空下降过程中，重力势能、动能相互转化。可见，生产生活中动能和势能之间的转化无处不在。因为有阻力的存在，这些过程也同时存在内能的转化。假设在这些运动过程中忽略阻力的作用，物体只在重力或弹力做功下运动，则它们的机械能保持不变，这样我们就可以利用机械能守恒定律来解决一些生活中的问题。
我们先来回顾一下机械能守恒的相关知识。首先，机械能守恒是有条件的，那就是只有重力或弹力做功。“只有重力做功”包含三层意思：一是只受重力，比如说所有的抛体运动或者卫星在太空中做圆周运动；二是可以受其他力的作用，但是这些力不做功，这样也只有重力做功，比如说一个滑块在光滑的固定斜面上滑行，一根绳系住一个小球在竖直面做圆周运动。需要注意的是，物体受弹簧弹力作用时，比如说这个小球，它在压缩弹簧的过程中，如果只研究小球，那么它机械能是不守恒的，而且是减少的；如果把小球和弹簧当做一个整体，那就是守恒的。三是允许受其他力的作用，而且允许其他力做功，但是其他力做功的代数和必须为零，最终也只有重力做功，这样的机械能也是守恒的。这种情况对象往往是系统，我们后面再讲解。
以上就是机械能守恒的条件。关于机械能守恒的表达式有三种列法：第一种按初末状态来列，即列出初始位置的重力势能和动能，再列出末位置的动能和重力势能，然后两个相等，但是这种列法需要选取零势能面；第二种是按照能量类型来列，把动能的变化放一边，把势能的变化放在另一边，即$\Delta E_{k}=\Delta E_{p}$；第三种是按照能量的增减来列，我们不管动能还是势能，把增加的放在一边，把减少的放在另一边，即一增等于一减。当然列的时候要注意一下左右两边的能量变化，均取正数。在这三种列法当中，老师推荐选择第三种列法，既不用选择参考面，也不用将能量分类。
好，接下来我们看看机械能守恒的应用思路，一般分为四步：第一，确定研究对象和研究过程，在这里就要标出已知量，假设未知量；第二，分析在这个过程当中存在哪些能量，比如说存在动能、重力势能、弹性势能；第三，分析这些能量是如何变化的，哪些能量是增加的，哪些能量是减少的；最后，根据机械能守恒，根据增减列出机械能守恒的表达式。
现在我们来看以下生活中的几个片段，实践一下刚才的应用思路。一、蹦床运动员从最低点上升到最高点的过程中，我们先建立一个物理模型，把它运动的示意图画出来，确定关键位置，两个关键位置之间就是一个关键的过程，比如说最低点、最高点，还有离开蹦床瞬间也是一个关键位置。在这里面我们就先标出各个已知量或者未知量，比如说最低点跟最高点，它速度均为 0，属于已知量，离开蹦床瞬间的速度为$v$，标出来属于未知量，还有它上升的最大高度，以及一开始弹簧的最大压缩距离$h$以及它初始的弹性势能，我们都把它标出来之后，接着来分析一下能量的转化。能量的转化是跟你所选择的过程有关，比如说从最低点到刚离开蹦床这个过程当中弹性势能是减少的，因为速度从 0 到$v$，动能是增加的，上升说明重力势能增加，因此这个过程是弹性势能转化为动能和重力势能；从离开蹦床到最高点，动能减少，重力势能增加，即动能转化为重力势能。如果我们选择从最低点到最高点，我们可以观察到初速度为 0，末速度也为 0，说明动能是没有变的，那这个过程就是弹性势能全部转化为重力势能。
搞清楚能量转化之后，我们就利用机械能守恒来列出不同过程的表达式。比如说如果选择是从最低点到刚离开蹦床，那么我们就可以知道弹性势能转化为重力势能和动能，这里面弹性势能是减少的，重力势能和动能是增加的，按照增减来列；如果选择从最低点到最高点，那么它的动能是没有变的，这个过程弹性势能全部转化为重力势能。表达式是这样的，大家可以注意到，一旦我们在运动示意图当中标出未知量，标出已知量，那么我们列式子的时候就会方便很多，因为有符号。
好，我们接下来看一个北京冬奥会的例子，女子大跳台。一样的，我们先建立物理模型，运动员从$a$点滑下来，接着到达$b$点，再到达$c$点，从$d$点腾空飞出去，最后落在平台上压缩这个弹簧。整个过程是这样的，同理，我们标出已知量、未知量，包括速度、高度、角度等等这些量。接着就分析运动过程当中的能量转化。比如说从$a$到$c$这个过程是下降的，它重力势能是减少的，速度是增加的，也就是动能是增加的，所以这个过程是重力势能转化为动能；如果选择从$c$点到弹簧压缩量最大，同学们首先要清楚，弹簧压缩量最大的时候就是速度为 0 的时候。所以从$c$到弹簧压缩量最大，它的动能是减少的，而弹簧压缩了，它的弹性势能是增加的，那么它的重力势能怎么变呢？虽然它有先上升再下降的过程，但从初始位置到末位置，它总体高度是下降的，所以重力势能是减少的，那么这个过程是动能和重力势能共同转化为弹性势能。
如果咱们选择从$a$点到弹簧压缩量最大，全程来看，它的初动能、末动能均为 0，那么动能就没有变，这样的话这个过程是重力势能全部转化为弹性势能。弄清楚能量转化之后，我们就可以选择不同的过程去列出机械能的表达式。比如说如果选择从$a$到$c$，这个过程是重力势能转化为动能，那么它的表达式是这样的，这里面要特别注意一下一些几何关系。$H_{1}$，这是$AB$的竖直高度，这里面还有一小段$BC$的竖直高度，这个高度为$r$，减去$r\sin\theta$，一些几何关系要注意；如果选择从$c$到弹簧压缩量最大，那么我们刚根据刚才的分析，这个过程是动能和重力势能共同减少，全都转化为弹性势能，所以它的表达式是这样的，减少的重力势能和减少的动能全部转化为弹性势能，减少动能多少直接取决于初末位置的高度差，在这里面是$H_{2}$。
通过分析这两个生活实例，同学们对机械能守恒的应用应该有一些基本的认识，在这里我总结一下：第一，有高度的变化就说明有重力势能的变化，升高意味着重力势能增加，降低意味着重力势能减少；第二，有速度大小的变化就意味着有动能变化，速度增大时动能增加，速度减少时动能减小；第三，有形变量的变化就有弹性势能变化，形变量增加时弹性势能增加，形变量减少时弹性势能减少。这里做一个特别的说明，当弹簧的伸长量等于压缩量的时候，它的弹性势能是一样的，也就是不变；第四，有些机械能守恒是系统机械能守恒，比如说含弹簧类、绳子连接体、杆连接体等等，这些问题是系统守恒，后面我们再详解。
通过以上分析，我们知道在分析问题时要注意物体高度的变化、速度大小的变化、弹簧形变量的变化，机械能守恒往往和其他物理知识联合考察，比如说圆周运动、平抛运动。接下来我们讲讲教材中的一个例子，一个过山车的例子。我们一边审题，一边标出关键位置，圈出重要条件，比如说从静止出发，还有忽略阻力作用，这个忽略阻力作用意味着机械能守恒。又比如说他说在圆周运动过程中，由于这是一个内轨道模型，我们要特别注意，要完成整个完整的圆周运动，它在最高点是存在最小速度的。同理我们标出各个物理量。
题目中的问题是过山车能沿着轨道运行，问$h$满足的条件。首先能沿着轨道运行意味着至少要通过最高点，而最高点存在一个最小速度，否则中途会脱轨。解决这类问题，我们往往求临界情况，即求出恰好到达最高点所对应的高度。解题过程如下，先假设恰好到达最高点速度为$v_{C}$，那么根据向心力公式就有$mg = \frac{mv_{C}^{2}}{r}$。接着我们选择从$a$点运动到$c$点作为这个过程，列出机械能表达式，即这条式子，然后两条式子联立，就可以求出这个高度为$2.5r$，那么高度越高，它就越容易到达最高点，所以$2.5r$是一个最小高度。
这道题其实还可以这么解，就是选择零势能面，按照我们前面讲的第一种列法，先选$b$点作为零势能面，则有这条式子。我们先写出$a$点的机械能之和，就是重力势能加动能为 0，接着写出在$c$点的机械能，此时的重力势能是$mg\times2r$，然后加上动能，同理可以求出$v_{C}$，计算结果是相同的。
接下来我们来做两道练习题。第一道，蹦极，这是一项非常刺激而勇敢的娱乐项目。我们在读题的时候一定要把关键的信息画出来，并且一边读题一边画出运动示意图。从题目中容易知道下落过程分为两个阶段：第一阶段是弹性绳还没有绷紧，此时人只受重力的作用，当绳子刚好拉直时，将进入第二阶段；第二阶段人受到重力和弹力。最大的弹性势能是弹性绳形变量最大的时候，即人下到最低点。解题前我们先画好示意图，明确过程，假设好未知量。
我们先来看一个问题，从$a$处跳下到最低点$c$，人的机械能如何变化？根据刚才的分析，从$a$到$b$只受重力，因此人的机械能守恒，是不变的；第二阶段从$b$到$c$，弹簧弹力做了负功，弹性势能增加，所以后面的那个阶段机械能是减少的。第二问，假设人到达$b$处的速度为$v$，从$a$到$b$，我们可以列出一条式子，$mgl = \frac{1}{2}mv^{2} - 0$。然后从$b$到$c$，我们选择人和弹性绳整体作为研究对象，因为它整体机械能守恒，那么就可以列出$E_{pm} = \frac{1}{2}mv_{0}^{2} + mg(62 - l)$，联立两条式子，就可以求出最大的弹性势能是$6mgl$。实际上过程的选择不同，能量的转化的描述也不一样，自然列出的式子也不一样。比如说这道题，如果我们选择全程来看，从$a$到$c$，那么全程动能是没有变的，它整个过程是重力势能全部转化为弹性势能，这样的话式子非常简洁，就是这样子，结果是一样的。