师：同学们，通过上节课的学习，我们了解了开普勒行星运动定律，知道行星绕太阳运动，太阳位于椭圆的一个焦点上，且遵循面积定律和周期定律。开普勒三大定律是基于观测数据得出的，但没有说明行星运动为何遵循这些定律。今天，我们就一起来探寻天体运动规律的原因。
开普勒受磁学研究者吉尔伯特影响，猜想行星运动是因为受到太阳磁力吸引，且磁力与两者距离成反比，不过这个猜想缺乏实际支撑。伽利略不太喜欢椭圆轨道的表现形式，他认为行星绕日运动是一种惯性表现。法国数学家笛卡尔用以太的涡旋说来解释行星运动，认为行星在以太的涡旋推动下绕太阳运动。
直到英国物理学家胡克提出，行星绕太阳转动是因为受到太阳引力，引力迫使其运动方向不断偏转，最终形成封闭的椭圆轨道。胡克声称引力与行星和太阳之间距离的平方成反比。胡克当时是皇家学会的实验主管，他与天文学家雷和哈雷沟通后，决定用椭圆轨道近似圆轨道，从圆轨道入手，利用圆周运动的向心力表达式推导平方反比。
大家看图，椭圆轨道非常接近正圆，椭圆的半长轴可近似为圆轨道的半径r。采用圆轨道近似后，开普勒第三定律可表述为行星绕太阳公转周期的平方和其轨道半径的立方成反比。下面我们一起来推导。
行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，其匀速圆周运动的向心力由引力提供，向心力的表达式是(F = m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r)。接着我们将开普勒第三定律(\frac{r^{3}}{T^{2}} = k)进行变形，把(\frac{r^{3}}{T^{2}})代入上式，就可得到(F = 4\pi^{2}k\frac{m}{r^{2}})，即太阳对行星的引力应该正比于它的质量，并反比于r的平方。
胡克和哈雷等人虽推导出圆轨道的平方反比定律，但对椭圆却无从下手。1684年8月，哈雷专程去剑桥拜访牛顿，征询平方反比定律的轨道问题。牛顿听后立刻回答轨道应是椭圆。哈雷询问证明过程，牛顿说做过计算，但证明过程暂时没找到，打印后会寄过去。同年11月，哈雷收到一篇长达9页的论文。
论文里，牛顿采用几何方式证明了在中心引力作用下，行星轨迹是椭圆轨道时也会满足平方反比定律。由于证明过程复杂，本阶段不做介绍。虽证实了椭圆轨道下太阳对行星的力满足平方反比规律，但仍有两个问题待解决：一是引力和太阳质量的关系；二是这个引力特点的普遍性。
牛顿随后引入质点概念，把庞大的天体质量集中，以便求出引力大小。根据牛顿第三定律，行星对太阳也有相应作用。由前面得到的引力形式可知，行星对太阳的引力应正比于太阳的质量M，并反比于太阳和行星距离的平方。综合这两个式子，可得出行星和太阳之间的作用力应正比于行星质量m与太阳质量M的乘积，反比于行星和太阳距离的平方。写成等式需引入一个常数，我们把这个常数叫引力常数，它和太阳、行星都没关系。
同学们，来看这张图，相信大家都熟悉，这是牛顿和苹果的故事。1665 - 1666年间，英国伦敦爆发鼠疫，波及剑桥，牛顿回到老家庄园居家隔离一年半左右，这是他思想最旺盛的时期。
据说牛顿看到苹果落地，引发思考：使苹果落地的重力和地球吸引月亮的力是不是同一个力呢？但因当时数据有误，计算结果不理想，引力问题被搁置十几年。现在哈雷等人促使牛顿重新燃起热情，牛顿做了这样一个思想实验：在地球上水平发射炮弹，因重力作用，炮弹做平抛运动落在一定距离外。若增大发射初速度，炮弹落地会更远。假设炮弹速度足够大，是否意味着炮弹能绕地球一圈又落回抛出点，成为绕地球运转的卫星呢？这就是牛顿的月亮思想实验。若如此，地球表面自由落体加速度和月亮绕地球转动的向心加速度应都遵循相同的平方反比定律。
假设苹果跟月亮受到地球的引力都服从平方反比，用R表示地球半径，r表示月亮到地心的距离。数据可知，月亮到地心的距离约为60倍的R。我们来列式子，对地球上面的苹果，可列(G\frac{Mm}{R^{2}} = ma_{苹})；对月亮列式(G\frac{Mm_{月}}{r^{2}} = m_{月}a_{月})。将两个式子整合可得(\frac{a_{月}}{a_{苹}} = \frac{R^{2}}{r^{2}})，代入数据约为(\frac{1}{60^{2}})。
由此可推理，在相同时间内，月球轨道附近自由落体运动的位移是地球附近自由落体运动位移的(\frac{1}{3600})。很快，根据当时最新观测结果，证实了这一推论，证明使物体在地球上受到的地球引力与月亮围绕地球运动的引力是同一性质的力。于是牛顿把引力理论进行推广，提出牛顿的万有引力定律。
万有引力定律内容为：宇宙间一切物体都是相互吸引的，两个物体间引力的方向在它们的连线上，引力大小跟它们质量的乘积成正比，跟它们之间距离的二次方成反比。数学表达形式为(F = G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}})。广义上，万有引力定律适用于一切物体之间，包括天上和地上。严格来说，计算时公式只适用于两个质点之间。但当两个物体间间距远大于其本身大小时，就可近似使用。对于均匀的球体，r取两球心之间的距离。
万有引力定律的提出，明确宣告天上和地上的物体都遵循相同科学法则，被称为物理学第一次伟大的统一。牛顿把包括力学三大定律和万有引力在内的成果汇编在《自然哲学的数学原理》中。在哈雷的鼓励和资助下，该书于1687年正式出版。《原理》的问世标志着牛顿经典力学的建立，意味着物理学第一次体系化的统一。牛顿在书中介绍了他的自然哲学推理法则：