师：同学们，今天我们一起来学习高一物理必修2第二单元第二章第三节生活中的圆周运动。在日常生活中，物体做圆周运动随处可见，像火车转弯、汽车转弯、汽车过桥，还有游乐场的机动游戏，只要物体运动轨迹是圆形，就属于圆周运动。通过上节课的学习，大家对圆周运动的规律已有一定了解。下面我们回顾一下，物体做匀速圆周运动需要什么力？
生：这个力总是改变物体速度方向，与速度方向垂直，且指向圆心，我们称之为向心力。
师：非常好。那么向心力由谁来提供呢？
生：一般情况下，由物体的合外力提供。
师：没错。那向心力的计算公式有哪些？
生：分别是$F = \frac{mv^2}{r}$，$F = m\omega^2r$以及$F = m(\frac{2\pi}{T})^2r$ 。
师：很好。具体在应用中选用哪个公式，要根据问题中涉及的运动信息来确定。接下来，我们要掌握解决圆周运动问题的一般思路。物体做匀速圆周运动需要向心力，提供向心力的是物体所受合外力，这里存在供需关系。当供需平衡，即合外力与所需向心力相等，物体就能做匀速圆周运动。分析问题时，要研究这种供需关系，“供”就是对物体进行受力分析，得出物体所受合外力；“需”就是分析物体运动信息，算出物体做圆周运动所需向心力。我们以火车转弯为例，看看是什么力提供向心力。大家请看一段视频。（播放视频）这段视频展示的事件发生在圣地亚哥，事发当天，一辆西班牙快速列车以190码的高速通过一段限速80码且难度极高的弯道时，火车脱轨，所有车厢全部脱轨，其中一节车厢严重烧毁。火车脱轨事故往往发生在转弯处，刚才视频提到火车转弯速度超出设计速度，速度过大，根据向心力公式，火车需要更大的向心力才能转弯，当向心力不足就引发了脱轨事故。为进一步弄清楚这个问题，我们需要了解火车车轮结构。大家看，火车两个车轮压在铁轨上，两轮内侧都有凸出部分，叫轮缘。理论上，火车在水平直道行驶时，轮缘和铁轨无相互作用。当火车转弯，轮缘会与铁轨挤压。我们还要分清内轨和外轨，大家看大屏幕，火车在水平面上向右转弯，轨道圆心在右，靠近圆心一侧轨道叫内轨，另一侧叫外轨。我们对火车进行受力分析，竖直方向受重力和支持力，这两个力在竖直方向无法提供水平向心力。那水平方向有什么力呢？
生：由于惯性，左边轮子的轮缘与外轨挤压，外轨对轮缘产生向内的弹力，火车转弯靠这个弹力提供向心力。
师：对。但火车质量大、速度快，需要很大向心力，如果长期靠轮缘与铁轨挤压提供向心力，铁轨易磨损变形，存在安全隐患。所以我们要改进这种方式。同学们观察这幅图片，不难发现火车转弯时车身有点倾斜，这是设计师在转弯处将外轨设计得比内轨高。大家猜猜这样设计有什么优点？思考一下，如果轨道对轮缘恰好无挤压，火车运行速度多大？我们还是先对火车进行受力分析。
生：火车受竖直向下的重力，还有垂直轨道倾斜面的支持力。
师：这两个力合力要指向圆心，为火车提供向心力。合力该指向哪个方向呢？我们要找到轨道平面，它在水平面上，不是斜面上，所以合力应沿水平方向指向圆心，不是沿斜面向下。这里有几何关系，我们找到夹角$\theta$，合力大小可以用$mg\tan\theta$表示。根据供需关系，$mg\tan\theta = \frac{mv_0^2}{r}$，由此可得到此时速度$v_0 = \sqrt{gr\tan\theta}$，我们把这个速度称为临界速度，也叫设计速度或最佳速度。那么当火车转弯速度比临界速度大时，轨道对轮缘的力是怎样的？
生：火车需要更大向心力，$mg\tan\theta$不足以提供，为顺利转弯，外轨对轮缘产生弹力，增加火车合外力，速度越大，外轨对轮缘挤压越大。
师：非常好。当火车转弯速度比临界速度小时，轨道对轮缘的力又是怎样的？
生：火车需要较小向心力，$mg\tan\theta$大于所需向心力，内轨对轮缘产生向外作用力，减小火车合外力，速度越小，内轨对轮缘挤压越大。
师：如果你们是工程师，如何安全提高火车转弯速度？
生：可以增加内外轨道高度差，增大$\tan\theta$ 。
师：但角度过大，火车以较慢速度通过弯道容易侧翻。其实可以把轨道半径设计得更大，让弯道更缓。一般高铁要达到350千米每小时的速度，转弯半径需达到8千米。刚才我们分析了水平面的圆周运动，接下来研究竖直面的圆周运动。屏幕上是两种不同桥梁，左边是常见的凸形桥，右边是少见的凹形吊桥。为什么桥梁常设计成凸形，而不是凹形？我们比较一下汽车在两种桥面做圆周运动时的受力情况。凸形桥圆心在下面，合外力需向下提供向心力，合外力表达式为$G - F_N$ 。