师：同学们好。今天我们来学习粤教版必修2第三单元第三节万有引力定律的应用。从古至今，人们对太空充满向往，万户飞天的故事，就充分展示了人们对探索太空所做的努力。进入20世纪，人类实现了太空翱翔的梦想。如今，上千颗人造卫星绕着地球运转，为人们带来无限资源，成为推动社会发展的强大动力。那么，这些卫星的运动有什么特点呢？今天我们就来研究这个问题。
我们把环绕地球在宇宙空间运行的无人航天器，叫做人造卫星。这是地球上不同轨道的卫星，大家观察一下，它们的运动和受力有什么特征？所有卫星都在以地球为中心的圆轨道，或近似看成圆轨道（椭圆轨道）上运行。根据万有引力定律，所有卫星都会受到地球的吸引力。有没有轨道中心不是地心，却还能绕地球稳定运行的卫星呢？我们一起来分析一下。假设有一颗卫星沿着蓝色轨道运行，它会受到地球的万有引力。根据力的作用效果，我们能看到万有引力的一个分力，用来提供它做圆周运动的向心力，但是万有引力的另一个分力会将它向下拉扯，卫星就不能在这个轨道上稳定运行。所以，为了让卫星能稳定在一个轨道上运行，它受到的万有引力必须全部用来提供向心力。
万有引力应该沿着轨道的半径方向。比如说在这个轨道上，万有引力的方向和半径重合，卫星就可以在这个轨道上稳定运行。同理，在这个轨道上卫星也能稳定运行。由此，我们可以把卫星绕地球的运动简化为这样一个简单模型：卫星绕着地球做匀速圆周运动，它所受到的万有引力全部用来充当向心力。我们再来观察绕地球不同轨道上的卫星，它们运动的快慢和什么有关系呢？设地球的质量为$M$，卫星的质量为$m$，卫星距地心的距离为$r$，则卫星受到地球的万有引力为$F = G\frac{Mm}{r^{2}}$，这个万有引力全部用来提供卫星绕地球做圆周运动的向心力。
如果我们想计算卫星的线速度，就把含有线速度的向心加速度表达式代入，由此可以得到卫星的线速度$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ 。如果想得到卫星的角速度，就把含有角速度的向心力表达式代入，可得到卫星运行的角速度大小$\omega = \sqrt{\frac{GM}{r^{3}}}$ 。同样道理，把含有周期的表达式代入，就能得到卫星运行的周期大小$T = 2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{GM}}$ 。
我们看到卫星运行的线速度、角速度、周期的表达式中，都含有轨道半径和地球的质量。所以对于环绕地球运行的卫星，它们运动的快慢只和半径有关，半径越大，卫星的线速度、角速度就越小，而周期就越大。同时我们也观察到，卫星运行的线速度、角速度、周期和卫星本身的质量没有关系。
有了这个规律以后，我们就可以分析两种特殊轨道的卫星。我们把在离地面100公里到200公里高空运行的卫星，称为近地卫星。因为它的高度远远小于地球半径6400公里，所以近地卫星的轨道半径近似等于地球半径。如果给出地球的质量、地球半径以及引力常量$G$，同学们能计算出近地卫星的线速度吗？根据刚才学习的规律，由$G\frac{Mm}{r^{2}} = m\frac{v^{2}}{r}$，可以得到近地卫星的线速度$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$，代入数据，可得到线速度大小是7.9千米每秒。
我们也注意到，因为近地卫星的轨道半径是利用地球半径来计算的，所以它是卫星中最小的轨道半径。因此，7.9千米每秒又是环绕地球运行的最大环绕速度。另外一个比较特殊的卫星是地球同步卫星，它是与地球相对静止的卫星。同学们，现在观察一下这两颗卫星，哪一颗是同步卫星呢？很显然是半径大的这颗。假想我们在地球上绿色点的位置，某一时刻抬头看到正上方天空有一颗卫星，不管什么时候抬头，都能看到这颗卫星一直在正上方，那么这颗卫星就与我们保持相对静止。我们再观察一下这个卫星的轨道有什么特征呢？
因为地球自西向东自转，所以这个卫星也要自西向东转，也就是说同步卫星的轨道要和赤道平面平行。那么沿着蓝色轨道运行的卫星可不可以是同步卫星呢？我们通过受力分析可知，卫星受到的万有引力并不能全部提供向心力，所以卫星不能在这个轨道上稳定运行。
所以沿着自西向东又要过地心的轨道，只能在赤道平面上才能满足要求，也就是说同步卫星的轨道一定要在赤道平面上，它和地球自转方向相同，自西向东转。它的半径是多大呢？因为同步卫星的轨道和地球同步，所以它的周期也和地球自转周期相同，是24小时。如果知道了周期，再根据$G\frac{Mm}{r^{2}} = M(\frac{2\pi}{T})^{2}r$，就可以得到它的半径约等于42270公里。
知道了地球半径以后，我们可以算出同步卫星距离地面的高度约是35900公里，约等于5.7个地球半径。那么，是不是所有的同步卫星都在同一个轨道上呢？我们可以思考一下，因为所有同步卫星都是自西向东转，都在赤道平面内，周期相同，所以它们的轨道高度都在距离地面大约36000千米的地球同步轨道上。根据$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$和$\omega = \sqrt{\frac{GM}{r^{3}}}$，我们可以看到同步卫星的线速度大小和角速度也是相同的。于是我们能看到，在赤道上空，所有同步卫星都在同一个圆环轨道上运行。在这些同一轨道上运行的同步卫星，有哪些物理量是不同的呢？同学们可以想一想，不同的同步卫星，它们的质量可以不同。因为质量不同，所以所受的万有引力也不同。
卫星都有哪些用处呢？比如说现在在家里看电视，用的就是同步卫星传输电视信号。又比如我们现在经常用手机发定位，用的就是北斗导航系统。其中有三颗同步卫星，这三颗同步卫星起到星间通讯和地表通信的功能，还承载了精密定点、定位、星基增强等功能。生活中我们发现天气预报能几乎准确到逐时播报，这里同步气象卫星功不可没。