师：亲爱的同学们，大家好！今天我们一起来学习人教版八年级下册第17章17.1第四课勾股定理的简单应用。在学习本节课内容之前，我们先来看一下这节课的学习目标：一、知道勾股定理是解决实际问题中常见的数学模型；二、会利用勾股定理建立直角三角形中的三边关系，并会求出未知边长。我们知道，数学来源于生活又应用于生活，勾股定理的应用在生活中无处不在。接下来，让我们一起尝试用勾股定理来解决生活中的数学问题。
这里有个问题，一个门框的尺寸如图所示，大家能求出它的对角线AC的长吗？我们一起来分析一下，要想求出AC的长，先连接AC。要求的AC为直角三角形的斜边，而直角三角形的两直角边AB、BC均为已知，所以我们在Rt△ABC中根据勾股定理即可求出AC的长。我们一起来写一下解答过程。
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，$AC^2 = AB^2 + BC^2$，代入数值得$AC^2 = 5$，因为AC的长为正数，所以$AC = \sqrt{5}$。再作答：所以AC的长为$\sqrt{5}$米。
同学们请注意，在这个问题中，我们从门框中观察出了一个直角三角形，进而利用勾股定理进行求解。如果在这个问题中再增加一些条件，情况又会如何呢？请大家认真阅读。
问题二：还是这个门框，一块长3米、宽2.2米的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？解决这个问题的关键在于理解一块长3米、宽2.2米的薄木板能否通过的含义。大家注意，长3米，宽2.2米，即便木板的宽2.2米都已经超出了门框的宽度和高度，那就意味着木板无论是横着或者竖着都不能从门框内通过，所以我们只能尝试斜着能否通过。而门框对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度，所以我们求出AC的长后，应该与木板的哪一边进行比较呢？很显然是与它的宽进行比较，这样我们就可以知道木板能否从门框中通过了。而问题一中我们已经求出了AC的长为$\sqrt{5}$，约为2.24米，AC长大于木板的宽2.2米，所以木板能够从门框中通过。
这两个问题都是先求出门框对角线AC的长度，但不同的是问题二增加了一个限定长宽的木板，所以我们增加了一个比较。在比较的过程中大家要注意选取正确的量。接下来同学们自己尝试一下能否解决下面这道实际问题。
三、如图，一架2.6米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4米，那么梯子底端B离O多远？梯子AB的长2.6米以及AO的长2.4米，我已经在图中给大家标明了，要求的是OB的长。从题目中我们发现，竖直的墙意味着△AOB为直角三角形。在这个直角三角形中，我们已知斜边AB和其中一直角边AO，那么根据勾股定理即可求出OB的长。我们一起来写一下解答过程。
解：在Rt△AOB中，根据勾股定理，$OB^2 = AB^2 - OA^2$，代入求值。同样，因为OB为长度，我们取值$OB = \sqrt{1} = 1$，再作答就可以了。这个问题和我们前面的问题一相同，都是从实际问题中找到一个直角三角形，进而利用勾股定理进行求解。我们继续挑战。
第二问：若梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，则梯子的底端B也外移0.5米吗？同学们可能会猜测是或者不是，那大家能确定自己的答案正确吗？我们一起来分析一下。A沿墙下滑0.5米，梯子是怎么下滑的呢？大家想象一下梯子下滑的过程。好，一起来看老师演绎的梯子下滑过程。滑动到这里就停止滑动了，我们把滑动过程的梯子去掉，把停止滑动后梯子的两端点标上C、D两点。那么A下滑0.5米，请问大家谁是0.5米呢？很好，AC是0.5米。它问我们B也外移0.5米吗？那么B外移到了哪里？很显然外移到了点D处，也就是问我们BD等于0.5米吗？要求BD，大家看到BD在哪里？BD在OD上，那么我们可以把BD写成$OD - OB$。所以问题就转化为要求OD和OB的长，而OB第一问我们已经求解出来了，所以现在问题的关键转化为要求OD的长。我们一起来分析一下题目的条件。
AO为2.4米，下滑的AC是0.5米，所以我们可以很快求出OC是$2.4 - 0.5 = 1.9$米，而CD是梯子下滑后的停止滑动位置，所以$CD = AB = 2.6$米。梯次下滑过程中又出现了一个新的直角三角形COD，并且在这个直角三角形中CO、CD均可以求出，所以我们在这个直角三角形中利用勾股定理即可求出OD的长。OD求出来了，结合以上分析，这道题便迎刃而解了。接下来我们呈现一下具体的解答过程。