师：同学们，今天我们学习九年级人教版数学第 22 章二次函数与不等式。这节课的学习目标如下：第一，理解二次函数与不等式之间的关系，能将两者的问题进行相互转化；第二，体会并能应用图像法数形结合的思想解题。学习重点是能通过二次函数的图像求出对应的不等式的解集，难点是理解二次函数的图像与不等式之间的关系。
首先，我们来回顾一下知识：抛物线(y = Ax2 + Bx + c)与一元二次方程(Ax2 + Bx + c = 0)根的判别式(\Delta = b2 - 4AC)有这样的关系：当(\Delta\gt0)时，抛物线与(x)轴有两个公共点；当(\Delta = 0)时，抛物线与(x)轴有一个公共点；当(\Delta\lt0)时，抛物线与(x)轴没有公共点。
下面我们进行例题分析。例一，已知二次函数(y = x2 - 2x - 3)。第一个小问题，画出二次函数的图像。画二次函数图像，除了列表描点连线，还可以通过以下要素来画：第一，确定开口方向，这里(a = 1)，开口向上；第二，确定对称轴，利用公式(x = -\frac{b}{2a})，可得(x = 1)；第三，确定抛物线与(x)轴的交点坐标；第四，确定顶点坐标，然后用光滑曲线连线，就画出了二次函数的图像。这几个问题都能从函数图像上找到相应信息，这里体现了一个重要的数学思想——数形结合思想。
由图像可知，顶点在第四象限，对称轴是(x = 1)，与(y)轴的交点坐标是((0, -3))。方程(x2 - 2x - 3 = 0)的解，就是二次函数图像与(x)轴交点的横坐标，可得(x_1 = -1)，(x_2 = 3)。
第六个小问题，(x)取什么值时，函数值等于(0)？函数值等于(0)等价于(y = 0)，从函数图像可知，就是二次函数图像抛物线与(x)轴的两个交点坐标，所以(x = -1)或者(x = 3)。
第七个小问题，(x)取什么值时，函数值小于(0)？观察函数图像，函数图像处在(x)轴下方，所以(x)的取值范围是(-1\lt x\lt3)。
最后一个问题，(x)取什么值时，函数值大于(0)？函数图像处在(x)轴上方，有两段，所以(x)的取值范围是(x\lt -1)或者(x\gt3)。
好，下面我们看练习。二次函数(y = -x2 + x + 2)的图像给出了以下(4)个小问题，同样用数形结合的方法。顶点在第一象限，点(A)的坐标是(( -1,0))，点(B)的坐标是((2,0))，令(x = 0)，可得(y = 2)，所以点(C)的坐标是((0,2))。
这三个问题和刚才的例题类似，分别要求(y\gt0)，(y\lt0)，(y = 0)。开口方向向下，(y\gt0)时，函数图像处在(x)轴上方，(x)的取值范围是(-1\lt x\lt2)；(y\lt0)时，函数图像处在(x)轴下方，(x)的取值范围是(x\lt -1)或者(x\gt2)；(y = 0)时，就是抛物线与(x)轴交点的横坐标，即(x = -1)或者(x = 2)。
我们来小结一下刚才讲的知识点。抛物线(y = Ax2 + Bx + c)与(x)轴的交点，假设有两个交点，设(x_1\lt x_2)。当(a\gt0)时，(y\gt0)，(x)的取值范围是(x\lt x_1)或者(x\gt x_2)；(y = 0)，(x = x_1)或者(x = x_2)；(y\lt0)，(x)的取值范围是(x_1\lt x\lt x_2)。当(a\lt0)时，情况与(a\gt0)时相反。
例 2，有两个函数，抛物线(Y_1)与直线(Y_2 = Mx + n)交于两点(A(-2, -1))，(B(1,3))。如何确定(Y_1 = Y_2)，(Y_1\gt Y_2)，(Y_1\lt Y_2)呢？这两点既在抛物线上又在直线上，此时(Y_1 = Y_2)，(x)的取值就是这两点交点的横坐标，所以(x = -2)或者(x = 1)。这两点作为临界点，中间部分二次函数图像在直线上方，此时(Y_1\gt Y_2)，(x)的取值范围在(-2)和(1)之间；另外两边直线在二次函数图像上方，(Y_1\lt Y_2)，(x)的取值范围是(x\lt -2)或者(x\gt1)。