师：同学们，大家好。今天我们学习一元二次方程。这节课我们将会了解一元二次方程及其根的概念，掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项及其系数、一次项及其系数和常数项。
师：首先回忆一下，什么叫方程？我们学过哪些方程呢？
生：含有未知数的等式叫做方程。我们学过整式方程、分式方程，分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
师：没错，那整式方程里，我们学习了一元一次方程，谁能说说它的定义？
生：含有一个未知数，未知数的最高次数是一次的整式方程叫一元一次方程。
师：非常好，我们还学过二元一次方程、三元一次方程，后两者本质上也基于一元一次方程在“元”上进行了推广。那自然地，在次数上也可以推广，今天我们就来学习一元二次方程。先找一找生活中的一元二次方程问题。有一座高两米的人体雕像，要求它上部高度与下部高度比等于下部与全身高度比，求雕像下部高度为多少米？我们画个简单示意图，雕像上部高度设为$AC$，下部高度设为$BC$ ，那么就有$AC:BC = BC:2$，可转化成$BC^2 = 2AC$ 。设雕像下部高度$BC$为$x$米，此时雕像上部高度$AC$为$(2 - x)$米，由此可得方程$x^2 = 2(2 - x)$，整理后得到$x^2 + 2x - 4 = 0$ ，通过这个方程就能求出雕像下部高度。
师：再看第二个问题，有一块矩形铁皮，长为100厘米，宽为50厘米，在它四角切去同样的正方形，然后将四周突出部分折起制作无盖方盒。如果要使无盖方盒底面积为3600平方厘米，那么铁皮各角应切去多大的正方形呢？设切去的正方形边长为$x$厘米，那么盒底的长为$(100 - 2x)$厘米，宽为$(50 - 2x)$厘米，底面积为3600平方厘米，由此可得方程$(100 - 2x)(50 - 2x) = 3600$ 。去括号整理得$4x^2 - 300x + 1400 = 0$ ，两边同时除以4，化简得$x^2 - 75x + 350 = 0$ 。
师：第三个问题，要组织一次排球邀请赛，参赛每两个队伍之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队参加比赛呢？全部比赛场次为$4×7 = 28$场。比赛规则是每个队伍与其他队伍各赛一场，如果有3个队伍参赛，每个队伍与其他$(3 - 1)$个队伍各赛一场；如果有4个队伍参赛，每个队伍与其他$(4 - 1)$个队伍各赛一场。设应邀请$x$个队伍参赛，每个队伍要与其他$(x - 1)$个队伍各赛一场。因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛场次需要除以2，那么全部比赛共$\frac{1}{2}x(x - 1)$场，列方程得$\frac{1}{2}x(x - 1) = 28$ 。去括号整理得$\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x = 28$ ，去分母得$x^2 - x = 56$ 。
师：以上三个问题所得方程，观察一下它们都有哪些共同点呢？
生：方程两边都是整式，方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2。
师：非常好，像这样等号两边都是整式，只含有一个未知数（即一元），并且未知数最高次数是2（即二次）的方程，叫做一元二次方程。下面我们一起完成练习一，辨别下列各式是否为一元二次方程，请同学们按下暂停键，给大家一分钟做题时间。
（一分钟后）
师：大家想好了吗？看一下答案，一三五六均是一元二次方程，二四不符合题意。我们按照辨析三部曲来辨别这些方程。首先化简并分析是否为方程，比如题3、题4 ，题4是整式不符合题意，题3去括号整理可得方程，最高次项为$x^2$，是二次，符合题意。其次，辨别未知数个数与位置，如题2有两个未知数不符合题意，题6$x^2$在分子符合题意。最后，找出未知数最高次数，题3上面已经讲评，题5关于$x$的方程，$x^2$（$m$不为0），其方程最高次项为二次，满足题意。从这些方程可以看出一元二次方程的一般形式是$ax^2 + bx + c = 0$，其中$a$、$b$、$c$为常数，并且$a≠0$，否则就不是二次方程了。其中$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数，$bx$是一次项，$b$是一次项系数，$c$是常数项。下面我们动脑思考完成例一，将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。