师：同学们好，今天我们一起来学习人教版数学八年级下册第17章第二课时勾股定理的证明。首先明确学习目标：一是从特殊到一般探索勾股定理的证明方法；二是了解勾股定理证明的基本方法，体会运用数学解决问题的思想和方法。孔子说：“温故而知新，可以为师矣。”这是非常重要的学习方法。上节课，我们在网格背景下，通过面积法形成一个猜想：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。用几何语言描述就是：如图，如果直角三角形的两条直角边长分别是a和b，斜边长为c，那么(a^{2}+b^{2}=c^{2})。我们知道这个猜想是正确的，它就是著名的勾股定理。但不是所有猜想都正确，都需要严格证明，勾股定理的证明中面积法占据重要地位。具体做法上节课已有所了解，下面先来回顾一下。
我们在网格上画出一个两条直角边长分别为2和3的直角三角形，然后以三边长为边长做三个正方形，分别记为A、B、C。通过计算正方形A的面积与正方形B的面积之和是否等于正方形C的面积来验证勾股定理。这里(S_{A}=2^{2})，(S_{B}=3^{2})，那么(S_{C})怎么求呢？由于正方形C摆放不端正，求其面积有两种方法。第一种方法是“割”，利用水平线和铅垂线将正方形C分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，从而求得正方形C的面积。通过计算验证了(S_{A}+S_{B}=S_{C})，这种方法叫“割”。同时也可以采用“补”的方法，把正方形C补形为一个端正的大正方形，用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积来求得正方形C的面积。“割补法”是求不端正图形面积时常使用的方法。
刚才用特殊边长验证了(a^{2}+b^{2}=c^{2})。特例验证不能代表证明，在网格中用特殊边长验证勾股定理不是严谨证明。不管进行多少特例验证，猜想还是猜想，不是定理，所以需要去掉网格，用字母表示直角三角形的三边长，通过代数运算进行推理论证。前面特例验证为我们积累了方法和经验，进行字母运算推理时，可借鉴前面研究方法，也就是通过计算(S_{C})，若(S_{A}+S_{B}=S_{C})，那么(a^{2}+b^{2}=c^{2})就得到证明，成为定理。为计算(S_{C})，和前面一样采用割补法，把不端正图形转化为端正图形，这也是求面积常用方法。下面分别用割补法对勾股定理进行一般性推理。
先看分割的方法。用水平线和铅垂线把正方形C分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，那么正方形C的面积就可通过4个直角三角形的面积之和加上小正方形的面积求得。因为这里直角三角形的边长分别为a、b、c，所以(S_{A}=a^{2})，(S_{B}=b^{2})。这里(S_{C}=4)个直角三角形的面积之和 + 一个小正方形的面积，一个直角三角形的面积等于(\frac{1}{2}×a×b)，那么四个直角三角形的面积之和就是(4×\frac{1}{2}×a×b)。小正方形的边长是多少呢？同学们观察图形，从图上可看到，小正方形的边长等于长的直角边长b减去短的直角边长a，所以小正方形的面积可表示为((b - a)^{2})，从而得出正方形C面积的表达式。
下面对这个代数式进行计算和化简，同学们注意((b - a)^{2})展开后不要漏了中间项(-2ab)，它和前面的(2ab)相加为0，由此计算出(S_{C}=a^{2}+b^{2})。因为(a^{2}=S_{A})，(b^{2}=S_{B})，所以得出(S_{C}=S_{A}+S_{B})。从另一个角度看，正方形C是边长为c的正方形，它的面积也可表示为(c^{2})，从而用代数推理的方式证明了勾股定理(a^{2}+b^{2}=c^{2})。