师：同学们，今天我们学习六年级上册第三单元分数除法解决问题。学习用品都准备好了吧？这是本节课的学习目标。在学习新知之前，咱们先来回顾一下学过的知识。这道题大家会解决吗？试一试。来看看答案，做对了吗？想一想，其中的数量关系式是什么呢？
生：道路总长除以天数等于每天修的长度。
师：没错，对应列出算式$360÷6 = 60$米，求出平均每天修$60$米。那平均每天修这条路的几分之几呢？我们借助线段图来分析，把这条路的总长看作单位“$1$”，平均分成$6$份，每天修的长度就是全长的$\frac{1}{6}$。那如果路长是$600$米，还是$6$天修完，平均每天修这条路的几分之几？
生：还是把总长看作单位“$1$”，$6$天修完，所以平均每天修的长度仍是全长的$\frac{1}{6}$。
师：为什么总长改变了，结果还是$\frac{1}{6}$呢？
生：不管总长是多少，因为完成的天数都是$6$天，所以平均每天都是修这条路的$\frac{1}{6}$。
师：接下来我们继续研究与修路情境有关的实际问题，请同学们阅读题目，并思考已知什么，问题是什么。题目所说的单独修、合修是什么意思？
生：已知一条道路，一队独立修完这条道路需要$10$天，二队独立修完这条道路需要$15$天。问题是如果两队合修，多少天才能修完？
师：先分析题目的数量关系式，可以帮助我们更顺利地解决问题。这道题的数量关系式是什么呢？
生：道路总长除以两队每天合修的长度等于合修天数。
师：我们一起来分析这个数量关系。这三个量中道路总长未知，两队每天合修的长度等于一队每天修的长度加二队每天修的长度。而一、二队每天修的长度可以用道路总长分别除以两队单独修的天数得到。已知两队单独修的天数分别是$10$天和$15$天，要求合修天数。分析到这里，现在可以解答了吗？
生：还不行，道路总长未知也没办法求出来。
师：怎么办？如果总长已知的话，问题就能迎刃而解了。诶，那能不能假设知道这条路有多长呢？有同学现在可能就在想应该把总长假设成多少呢？$10$千米、$20$千米、$30$千米，是不是假设任何一个数都可以呢？接下来我们把总长假设成一些具体的数量来分别算一算，验证一下。不妨先将总长假设成$30$千米来试一试，$30$是$10$和$15$的最小公倍数，这样假设计算会比较简便。根据刚才的分析，如果假设总长是$30$千米，可以求出哪些量呢？
生：可以先求出一队每天修的长度是$30÷10 = 3$千米，二队每天修的长度是$30÷15 = 2$千米。再求出两队每天合修的长度$3 + 2 = 5$千米。最后就能算出合修天数，$30÷5 = 6$天。
师：还可以写成这样的综合算式。那如果假设成其他具体数，结果又会是什么？你想假设这条道路的总长是多少？请你也像这样列式计算写在练习本上。都算完了吗？来看看这位同学的做法和你的一不一样。
生：他假设道路长$60$千米，求出一队每天修$60÷10 = 6$千米，二队每天修$60÷15 = 4$千米。两队每天合修$10$千米，合修天数是$60÷10 = 6$天，并列出了综合算式。
师：奇怪了，为什么两次假设的道路的总长不同，但算出来的合修天数都是$6$天，会不会只是巧合？如果把总长假设成其他长度，合修天数会不会改变呢？我们再看其他同学的做法，把总长假设得短一些，$15$千米，合修天数是$6$天，把总长假设得长一些，$900$千米，求出的合修天数还是$6$天。同学们来看回刚才几位同学的做法，他们假设的道路总长不同，但是合修天数却是不变的，为什么呢？其中又有什么是始终不变的？我们还是可以借助线段图来分析。先以总长是$30$千米为例，如果假设道路总长是$30$千米，那么一队每天修的$3$千米占全长的几分之几？
生：$\frac{1}{10}$。
师：二队每天修的$2$千米，占全长的几分之几？
生：$\frac{1}{15}$。
师：两队每天合修的长度$3$千米加$2$千米，则是占全长的几分之几？
生：$\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1}{6}$，所以$6$天修完。
师：如果假设道路总长是$60$千米，那么一队每天修的$6$千米占全长的几分之几，为什么还是$\frac{1}{10}$？
生：不管总长是多少，一队完成的天数都是$10$天，所以一队每天修的长度占全长的$\frac{1}{10}$。
师：同样道理，二队每天修的$4$千米占全长的几分之几？
生：$\frac{1}{15}$。
师：两队每天合修的长度$6 + 4$千米，仍是全长的$\frac{1}{10} + \frac{1}{15}$的和，也就是$\frac{1}{6}$。结果同样是$6$天修完。想一想，如果假设成其他长度，一队、二队每天分别修全长的几分之几。
生：因为两队单独修的天数不变，所以一、二队每天修的长度还是全长的$\frac{1}{10}$和$\frac{1}{15}$，两队还是每天合修全长的$\frac{1}{10} + \frac{1}{15}$的和。
师：现在你找到了这个问题中变与不变的秘密了吗？
生：虽然总长变了，两队每天合修的长度也变了，但是因为两队单独修的天数不变，所以每天修的长度占全长的几分之几不变。因此，无论假设总长是多少，合修天数都是一样的。
师：既然他们合修的天数与道路总长没有关系，那我们可以把道路总长看作“$1$”，这个“$1$”是抽象的，既可以表示$1$千米，还可以表示$30$千米或其他具体数。如果将总长假设为“$1$”，你能根据数量关系式列出算式解决问题吗？在练习本上写一写。
生：如果假设这条道路的长度是“$1$”，那么一队每天修的长度是$1÷10 = \frac{1}{10}$，二队每天修的长度是$1÷15 = \frac{1}{15}$。两队每天合修的长度是$\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1}{6}$，合修天数就是$1÷\frac{1}{6} = 6$天。