师：同学们好，我们一起来学习人教版第 20 章第一节第四课的内容——数据的集中趋势。接下来讲众位数和众数。先看这样一个问题：某公司经理以平均工资吸引应聘者小王入职，可小王进公司后发现工资没想象中高，就去找经理。经理给了小王一份工资报表，这是某公司员工月收入资料。咱们一起来算下这个公司员工的月平均收入。观察数据可知，总人数是 25 人，将总收入相加，即 45000 + 18000 + 10000 + 3×5500 + 6×5000 + 3000×4 + 11×3000 + 1000，再除以总人数 25，得到平均数是 6276 元。经理用这个平均数 6276 元来反映公司员工收入水平，大家觉得合适吗？对照表格数据，公司里只有前三个人工资高于平均数 6276 元，其余 22 人工资都低于这个平均数。所以，用 6276 元的平均数来反映公司全体员工月收入水平不太合适。
那有没有更好的数据来反映公司全体员工月收入水平呢？大家可以大胆猜想一下。比如，是否存在一个刚好位于中间的数，能将这组数据一分为二；或者观察这组数据时，能不能用出现次数最多的 3000 来反映公司全体员工月收入水平呢？由此，我们引入今天要学习的新统计量——中位数和众数。这两个概念很好理解。
中位数，就是把一组数据按照由小到大或由大到小的顺序排列。若数据个数是奇数，处于中间位置的数就是这组数据的中位数；若数据个数是偶数，中间两个数据的平均数就是中位数。从这个概念可知，求一组数据的中位数分两步：第一步，将这组数据按大小排序；第二步，确定数据个数是奇数还是偶数。若是奇数个数据，找到中间位置的数；若是偶数个数据，找到中间两个数据并取其平均数，这样就能确定这组数据的中位数。
再看众数的概念，众数是一组数据中出现次数最多的数据。理解这个概念很简单，观察数据中出现次数最多的数就行。举两个例子：第一组数据，4 出现了两次，其他数据都只出现一次，所以第一组数据的众数就是 4；第二组数据，82 出现了两次，76 也出现了两次，95 只出现一次，那么这组数据的众数就是 76 和 82。通过这两个例子发现，一组数据的众数可能是一个，可能是两个或多个，当然也可能没有众数，这是众数的一个缺点。
学了中位数和众数的概念，再看刚才那个问题。在月收入报表里，中位数和众数分别是多少？它们又代表什么意义呢？求中位数按刚才所学分两步，观察表格发现月收入已按从高到低排好，所以只需找到 25 个数据最中间的那个数，从表格左往右或右往左数第 13 个数据就是中位数。求众数，观察哪个数据出现次数最多，表格里月收入 3000 出现了 11 次，所以众数就是 3000。中位数 3400 说明公司约一半员工月收入在 3400 元以下，一半员工月收入在 3400 元以上；众数 3000 说明公司员工月收入为 3000 元的人数最多。
通过这个问题分析，思考一下，中位数和众数都能表示数据的集中趋势，之前学过的平均数也能衡量数据集中趋势。前面算得平均数是 6276，为什么平均数比中位数、众数高这么多呢？看原始表格，有像 45000 这样数值特别大的数据，算平均数时就把平均数拉高了，导致平均数比中位数和众数大很多。由此发现，平均数很容易受极端值影响，而中位数和众数不受极端值影响。所以在实际解决问题时，观察数据特点，若有极端值影响，就不选用平均数来反映数据特点，常用中位数和众数分析问题。
接着看思考二：如果小张是该公司的一名普通员工，他的月收入应该是多少呢？小张作为普通员工，月收入应是表格里出现人数最多的水平。观察数据，众数是 3000，所以小张最有可能的工资是 3000 元。
再看思考三：如果小李想去应聘这家公司的普通员工岗位，他应该最关注什么信息呢？已知公司工资水平有极端值影响，所以小李关注信息时，可能更应关注中位数和众数。通过以上学习知道，中位数和众数跟平均数一样，都是刻画数据集中趋势的。虽然平均数在现实生活中常见，但因易受极端值影响，某些情境下用它刻画数据集中趋势不合适。当数据受极端值影响时，选用中位数和众数更合适。
下面通过例题具体应用一下中位数和众数这两个新统计量。看例一，在一次男子马拉松长跑比赛中，抽得 12 名选手所用时间如下。第一问，求样本数据的中位数。求中位数分两步，先将 12 个数据按从小到大排序：124、129、136、140、145、146、148、154、158、165、175、180。这 12 个数据是偶数个，中间两个数据是 146 和 148，中位数就是这两个数据的平均数，即 (146 + 148)÷2 = 147，所以样本数据的中位数是 147。