师：同学们大家好，今天我们一起学习第十三章轴对称中，等边三角形的第二课时。首先来看学习目标：第一，理解掌握有一个角为 30 度的直角三角形的性质及其简单应用；第二，经历观察、猜想、验证、证明的过程，感受数学的严谨性。学习重点是含 30 度角的直角三角形性质的发现与运用。
课前，请各位同学准备两个全等的含 30 度角的三角尺。由于本节课是等边三角形的第二课时，我们先来回顾一下等边三角形的相关知识点。
等边三角形的定义：三边都相等的三角形为等边三角形。
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60 度。
等边三角形的判定：第一种方法，三个角都相等的三角形是等边三角形；第二种方法，有一个角为 60 度的等腰三角形为等边三角形。
好，下面开始今天的探究活动。请同学们拿出课前准备好的两个含 30 度角的三角尺，按照图中的位置摆放在一起，大家思考一下，能借助这个图形找到直角三角形 ABC 的直角边 BC 与斜边 AB 之间的数量关系吗？请自主探究。
同学们，我们得到了怎样的结论呢？对，BC 等于 1/2 个 AB。我们来分析下为什么能得到这个结论。
第一，三角形 ABD 为等边三角形。为什么呢？因为从图中比较容易得到角 B、角 D 还有角 BAD 均为 60 度，根据等边三角形的判定，三个角都相等的三角形为等边三角形，所以可以得到三角形 ABD 为等边三角形，进而得出 BD 等于 AB。
第二，由对称性可知，图中三角形 ADC 和三角形 ABC 关于直线 AC 轴对称，所以 BC 跟 CD 相等，并且等于 1/2 个 BD。
综上所述，我们得到结论：BC 等于 1/2 个 AB。再看这个结论，AB 为直角三角形 ABC 的斜边，BC 为直角边，并且是 30 度所对的直角边。通过探究活动，我们得到：在直角三角形中，30 度角所对的直角边是斜边的一半。
下面我们来证明这个结论的正确性。因为要证明一个命题，首先要找出已知和求证。结合图形，已知条件为：如图，在直角三角形 ABC 中，角 C 等于 90 度，角 A 等于 30 度。求证：BC 等于 1/2 个 AB。
分析这个结论，BC 等于 1/2 个 AB，这与我们以往碰到的证明两个线段相等不太一样，这里可能要用到一种重要的数学思想——转化思想。怎么转化呢？可以从等号左边出发，把 BC 转化为某一线段的 1/2；或者把等号右边的 1/2 个 AB 转化为某一线段。下面我们按照这个思路分别尝试一下。
方法一：构造线段 BC 的两倍辅助线。延长 BC 到点 D，使得 CD 等于 BC，连接 AD。为什么要这样做呢？目的是把等号左边的 BC 转化为 1/2 个 BD。也就是说，只需要证明 1/2 个 BD 等于 1/2 个 AB 即可，两边同时除以 1/2，也就是只需要证明 BD 等于 AB 即可。又因为角 B 为 60 度，所以我们可以证明三角形 ABD 为等边三角形。
从已知条件来看，角 ACB 等于 90 度，角 BAC 等于 30 度，所以可得角 B 等于 180 度减去角 ACB 减去角 BAC，即 180 度 - 90 度 - 30 度 = 60 度。又因为 AC 垂直于 BD，BC 等于 CD，所以 AC 为 BD 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得 AB 等于 AD。又因为角 B 等于 60 度，根据有一个角为 60 度的等腰三角形为等边三角形，所以三角形 ABD 为等边三角形。
下面看具体的证明过程：
如图，延长 BC 到点 D，使得 CD 等于 BC，连接 AD。因为在直角三角形 ABC 中，角 ACB 等于 90 度，角 BAC 等于 30 度，所以角 B = 180° - 90° - 30° = 60°。又因为角 ACB = 90°，BC = CD，所以 AC 为 BD 的垂直平分线，所以 AB = AD。又因为角 B = 60°，所以三角形 ABD 为等边三角形，所以 AB = BD。又因为 BC = CD = 1/2 BD，所以 BC = 1/2 AB，命题得证。
方法二：构造线段 AB 的一半辅助线。作 AB 的中点 D，连接 CD。为什么这样做呢？目的是把 1/2 个 AB 转化为 BD，也就是只需要证明 BC 等于 BD 即可。又因为角 B 等于 60 度，所以也可以证明三角形 BDC 为等边三角形。从角看，我们能得到角 B 等于 60 度，但从边看，暂时找不到特殊关系，所以这个方法在现阶段较难证明。不过到八年级下册学习新知识后，这道题就会简单很多。