师：同学们，大家好。今天我们一起学习全等三角形复习第一课时。首先来看本节课的学习目标：一、能用角平分线的性质和判定解决问题；二、体会从数学角度理解问题，提高运用所学知识和技能解决问题的能力。本节课重点是应用角平分线的性质和判定解决实际问题，难点是从实际背景中抽象出数学模型。
下面进入第一部分，以退为进，热身一。请在公路 m 上找出点 M，使得点 P 到点 M 的距离最短。我们可以把这个问题抽象为：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。因此，只需要过点 P 作直线 m 的垂线，垂足即为点 M。如图所示，点 M 即为所求。
热身二，在热身一的基础上，在公路 n 上找出点 N，使得点 P 到点 N 的距离最短。此问题仅是在热身一的基础上增加公路 n，问法一样，所以仍需过点 P 作直线 n 的垂线，垂足即为点 N。如图所示，点 N 即为所求。
热身三，老师问大家，热身 2 当中的线段 PM 与 PN 相等吗？我们通过观察得到 PM 不等于 PN。那么老师接着追问，若 PM 等于 PN，则 P 点需要满足什么条件呢？同学们回忆一下，热身一、热身 2 中点 M、N 的产生是过 P 点分别做直线 m、直线 n 的垂线。因此，我们不妨从 M、N 两个点开始分别做直线 m、直线 n 的垂线，交点即为点 P。那 P 点需要满足什么条件呢？我们可以再用同样的做法做出另一个 P 点进行观察。同学们请观察，我们可以猜想得到点 P 会落在∠MAN 所形成的角平分线上。如何证明我们的猜想呢？由本章所学习的全等三角形知识，我们观察在 Rt△MAP 与 Rt△NAP 中，其中 AP 是公共边，PM = PN 是题目给出的条件，因此可以通过判定定理 HL 证明这两个直角三角形全等，所以有对应角相等，进而得出点 P 在∠MAN 的平分线上。
以上热身环节我们复习了角平分线的判定定理。接下来，请同学们再重温角平分线的性质和判定。角平分线上的点到角的两边距离相等，这是角平分线的性质。几何语言表示为：OC 是∠AOB 的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，所以 PD = PE。判定是角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。几何语言是：因为 PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，所以 P 在∠AOB 的平分线上。
好，接下来老师考察同学们能否顺利区分角平分线的性质与判定。请看第三部分，小试牛刀。如图，一个加油站恰好位于两条公路 m、n 所夹角的平分线上，若加油站到公路 m 的距离是 50 米，则它到公路 n 的距离是多少米？为什么？此题关键在于加油站位于两条公路所夹角的平分线上，且已知加油站到公路 m 的距离是 50 米。因此，回忆起角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，所以答案也是 50 米，依据是角平分线的性质。
下面我们对角平分线的性质和判定进行综合应用。第一题，如图，为促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？同学们用自己的语言组织此题：度假村要求在三条公路围成的平地上修建，且到三条公路的距离相等。因此，我们可以把问题转化到熟悉的热身 3 的问题，热身 3 解决的是如何找到一个点到角的两边距离相等。那么这里问大家，若要找到一个点，使得它到公路 AB、公路 BC 的距离相等，这个点该在何处找？若要找到一个点，使它到公路 AC、公路 BC 的距离相等，它的位置又在哪里呢？同学们可以很顺利地联想到，我们只需要做出∠ABC、∠ACB 的角平分线即可。两条角平分线会产生一个交点，它就是我们所要找的度假村的位置。如图所示，应在 P 处修建度假村。同学们回顾这个问题，我们在解决时把到三条公路的距离相等转化为到两条公路的距离相等，进而转化到熟悉的角平分线的判定上。
接下来老师把这个模型复杂化，请看第二题。三条笔直的公路将地面分成 7 块区域，是否存在到 3 条公路等距离的点？若存在，找出所有这样的点；若不存在，请说明理由。同学们联想它与第一题的区别与联系。不同之处是，三条笔直公路将地面分成 7 块区域，问题变复杂了；相同的地方是，我们仍然要找到到三条公路等距离的点。所以同学们可以很顺利地作出∠ABC、∠ACB 的平分线，交点即为符合要求的点。那请问除了这个点还有没有其他的点呢？同学们看，∠ABC 平分线可以满足它到直线 AB、直线 BC 距离相等，同时若我们作出∠ABC 外角的平分线，外角平分线上的点仍然可以满足到直线 AB、直线 BC 距离相等，因此我们把这一条线做出来，它与∠ACB 的平分线形成一个交点，这个交点也是符合要求的点。
下面时间请同学们拿出纸和笔，自己动手画图，尝试着你还能找到几个符合要求的点呢？经过同学们的努力，我们在直线 BC 的下方可以找到一个点 P3，在 AC 的右侧可以找到一个符合要求的点 P4。目前我们一共找到 4 个点，请问同学们你找对了吗？那如何确保我们找的点是不重不漏的呢？同学们可以尝试着把三角形 ABC 外角和内角的平分线都做出来。观察此幅图形，符合我们要求的点确实只有 4 个，如图所示，点 P1、P2、P3、P4 为符合要求的点。