师：各位同学大家好，今天由我和大家一起来进行初中数学总复习，第11讲——反比例函数。本节课主要内容有反比例函数的概念、图像与性质以及实际应用。下面我们来回顾一下知识点。
首先，反比例函数的概念。一般形如(y = \frac{k}{x})（(k)为常数，(k≠0)）的函数，我们称为反比例函数。其中(x)是自变量，(y)是函数，自变量(x)的取值范围是不等于(0)的一切实数。(y = \frac{k}{x})还可以写成(xy = k)以及(y = kx^{-1})两种形式。
下面通过两道例题巩固一下。例一，反比例函数(y = -\frac{3}{2x})，常数(k)为多少？形如(y = \frac{k}{x})，将题干中的解析式化为(y = \frac{-\frac{3}{2}}{x})的形式，此时(k)为(-\frac{3}{2})。
例二，已知反比例函数(y = \frac{10}{x})，点(B(2, -5))在不在反比例函数图像上？判断一个点在不在反比例函数图像上，我们可以将这个点的横坐标代入解析式，看此时得到的(y)值与它的纵坐标相等还是不相等，如果相等就在图像上，如果不相等就不在图像上。从刚刚的判断可知点(B)不在反比例函数图像上。除了这种方法，还可以利用解析式的另一种形式，如果一个点在反比例函数图像上，那么它的横纵坐标的乘积应该等于(k)值。对于这道题，就是(xy = 10)，而点(B)的横纵坐标的乘积等于(-10)，与(k)值不相等，所以点(B)不在(y = \frac{10}{x})的图像上。
例一，我们再次辨析了(y = \frac{k}{x})的形式，(k)在分子上，(k)就是常数。例二，判断一个点在不在图像上，只需将这个点的坐标代入到解析式当中，如果满足解析式，那么它就在函数图像上，如果不满足，那么就不在图像上。
接下来复习知识点二，反比例函数的图像与性质。因为(y = \frac{k}{x})中(k≠0)，所以分为(k＞0)和(k＜0)两种情况，这里自变量(x)的取值是不等于(0)。反比例函数的图像又称为双曲线。当(k＞0)时，图像的两支在一、三象限，从左到右，在每一个象限内，(y)随(x)的增大而减小。
再看(k＜0)的情况，(k＜0)时，图像的两支在二、四象限，从左到右，在每一个象限内，(y)随(x)增大而增大。这里要强调，是在每一个象限内。
接下来复习反比例函数的对称性。反比例函数的图像关于原点中心对称，也关于直线(y = x)以及(y = -x)成轴对称。所以反比例函数既是中心对称图形，也是轴对称图形。
我们聚焦图像上的任意一点，如图，点(P)是反比例函数上任意一点，(PA)、(PB)分别垂直于(x)轴和(y)轴，垂足为(A)和(B)，点(P)的坐标为((x,y))。观察图像可得，(PA)这条线段的长度等于(\vert y \vert)，(PB)这条线段等于(\vert x \vert)。这样就把坐标与线段的长度建立起了联系。表达出线段后，还可以得到矩形的面积，它等于(PA×PB)，也就是等于(\vert xy \vert)。因为点(P)在反比例函数上，此时(xy = k)，那么矩形的面积就和(k)值建立起了关系，等于(\vert k \vert)。这样就得到了(\vert k \vert)的几何意义，即过双曲线上任意一点分别作坐标轴的垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形的面积就为(\vert k \vert)。如果此时连接(OP)，(OP)把矩形分成了面积相等的两个直角三角形，它们的面积就变为矩形面积的一半，也就是(\frac{\vert k \vert}{2})。
下面通过几道例题巩固这些知识点。
先看例三，已知反比例函数(y = \frac{2k + 1}{x})在第二、四象限上。第一问，求(k)的取值范围。由图像的性质可得，因为图像在二、四象限，所以此时常数(2k + 1)小于(0)，因此可以求出来(k＜ - \frac{1}{2})。这里利用到了整体思想。
第二问，若(A)、(B)、(C)三点都为该反比例函数图像上的点，则(y_1)、(y_2)、(y_3)的大小关系如何？可以把(A)、(B)、(C)三点的横坐标分别代入到解析式当中得到(y_1)、(y_2)、(y_3)关于(k)的代数式，借此比较代数式的大小，但这个过程稍显麻烦。有没有其他方法呢？可以利用数形结合的思想来做这道题目。画出反比例函数图像的草图，在图中标记出(A)、(B)、(C)三点横坐标的相对位置，然后画出它们所对应的(y)值(y_1)、(y_2)以及(y_3)，它们的相对位置在图像上就一目了然，所以可以得到(y_2＜y_3＜y_1)。数形结合思想非常好用，在函数里用得很广泛，希望大家能够好好掌握。
接下来看例四，如图，在同一平面直角坐标系中，直线(y = k_1x)（正比例函数）与双曲线(y = \frac{k_2}{x})相交于(A)、(B)两点，已知点(A)的坐标是((1,2))。
第一问，直接写出点(B)的坐标。点(B)是由正比例函数图像与反比例函数图像的交点。可以联立正比例函数解析式以及反比例函数的解析式，令它们的(y)值相等，从而求出点(B)的坐标。因为正比例函数的解析式和反比例函数解析式中常数(k)未知，而点(A)的坐标已经给出，所以可以将点(A)的坐标分别代入求出解析式，点(B)的坐标自然也就可以求出来了。
除了这种方法，还可以这样求。观察图像，反比例函数的图像是关于原点中心对称的，而正比例函数的图像也是关于原点中心对称的，那么它们的交点(A)和(B)也是关于原点中心对称，所以可以写出点(B)的坐标为(( - 1, - 2))。
第二问，根据图像直接写出不等式(\frac{k_2}{x}≥k_1x)的解集。先看这个不等式，不等号左边是反比例函数值，右边是正比例函数值。反比例函数值要大于等于正比例函数值，反映在图像上就是函数值大的图像在上方。利用数形结合思想具体来看，首先关注两个交点(A)和(B)，过两个交点分别向(x)轴作垂线，连同(y)轴将整个平面分成了一、二、三、四四个部分。从左到右看，第一个部分，反比例函数的图像在正比例函数图像的上方，满足题目的要求，此时它的解集是(x≤ - 1)，这里要关注横坐标。第二部分，不满足，反比例函数的图像在正比例的下方。第三个部分，反比例函数的图像在正比例函数图像的上方，满足题目的要求，这个部分的解集是(0＜x≤1)，因为自变量(x)取值范围是不等于(0)的，所以(0)这部分不能取。第四个部分不满足。这样就找到了不等式的解集，是(x≤ - 1)或者(0＜x≤1)。