师：同学们，今天我们一起来学习一次函数习题专题课——一次函数与几何变换。这里先按暂停，请大家完成以下题目，认真审题，独立完成。
第一题，从图可知一次函数经过二、三象限，所以 d 选项正确。这题要求我们读懂一次函数的图像特征。
第二题考察一次函数的性质。从 k = -3 可知，因为 k ＜ 0，y 随 x 的增大而减小。由 X1 ＜ X1 + 1 ＜ X2 + 2，可以判断 Y1 ＞ Y2 ＞ Y3。我们还可以画出 y = -3X + 1 的图像来解决问题，这样可直观判断 b 选项正确。
第三题要根据条件求函数表达式。先设一次函数表达式为 y = kx + b，点 b 的横坐标为 1，又在正比例函数 y = 2X 上，代入可求得点 b 的坐标为（1，2）。把点 a 和点 b 的坐标代入 y = kx + b 解方程组，可求得 k = -1，b = 3，所以选 b 选项。
现在我们整理一下所学的一次函数的有关知识。我们了解了一次函数的定义，知道其图像是一条直线，能运用待定系数法求表达式。通过读取图像特征，用表格归纳了图像和性质。我们还学过平移、轴对称、旋转这些几何变换，归纳过平面直角坐标系中点的平移规律。今天我们将探究一次函数与几何变换。
从课本例题开始。例一，不画图像，仅从函数解析式能否看出直线 y = 3X + 4 与直线 y = 3X - 4 具有什么样的位置关系？回忆画函数图像过程，一次函数 y = kx + b 的图像是由直线 y = kx 平移 |b| 个单位得到的。所以直线 y = 3X + 4 可看成由直线 y = 3X 向上平移 4 个单位得到；直线 y = 3X - 4 可看成由直线 y = 3X 向下平移 4 个单位得到。由平行线的性质可知，这两条直线互相平行。请同学们继续思考，把直线 y = 3X + 4 向下平移多少个单位可以得到直线 y = 3X - 4？从例题很容易得到答案是 8 个单位。
变式 2，把直线 l：y = 2X + 4 向下平移 5 个单位，得到直线 L1，怎么求直线 L1 的解析式呢？从图像变换看，图像上每个点都向下平移了 5 个单位。要求平移后直线 L1 的表达式，只要先确定直线 L1 上两个点的坐标即可，用待定系数法求直线解析式。为计算方便，我们习惯取直线与坐标轴的交点。具体过程如下：直线 y = 2X + 4 与 x 轴交于点 a（ -2，0），与 y 轴交于点 b（0，4）。点 a 和点 b 向下平移 5 个单位后，对应点分别为（ -2， -5）和（0， -1）。设直线 L1 的解析式为 y = kx + b，把（ -2， -5）和（0， -1）分别代入得方程组： -2k + b = -5 和 0 + b = -1，解得 k = 2，b = -1，所以直线 L1 的解析式为 y = 2X - 1。
还有别的解法吗？我们观察到直线 L1 与直线 l 互相平行，即直线 L1 的解析式中 k 与直线 l 解析式中的 k 相等。可以设直线 L1 的解析式为 y = 2X + b。这样只需要代入直线 L1 上任意一点即可求出表达式。具体过程如下：直线 y = 2X + 4 与 y 轴交于点 b（0，4），点 b 向下平移 5 个单位后，对应点为（0， -1）。由于直线 L1 与直线 l：y = 2X + 4 平行，故设直线 L1 的解析式为 y = 2X + b，代入后得到方程 0 + b = -1，解得 b = -1，直线 L1 的解析式为 y = 2X - 1。
再观察图像，直线 L1 由直线 y = 2X + 4 向下平移得到，改变的仅仅是与 y 轴交点的位置，所以只要把点 b 向下平移 5 个单位，就可以得到直线 L1 与 y 轴的交点，这样直接写出直线 L1 的解析式为 y = 2X + 4 - 5，即直线 L1 的解析式为 y = 2X - 1。
观察我们得到的结论，注意平移前后直线表达式的特征。如果把直线 y = 2X + 4 改为直线 y = kx + b，把向下平移 5 个单位改为向下平移 a 个单位，就能进一步找到规律：两直线平行，两直线解析式中系数 k 相等。直线 y = kx + b 向上平移 a 个单位得到直线 y = kx + b + a；直线 y = kx + b 向下平移 a 个单位得到直线 y = kx + b - a。
继续思考，把直线 l：y = 2X + 4 向右平移 3 个单位，得到直线 L2，请写出其解析式；若向左平移 3 个单位，得到直线 L3，求其解析式。观察平移过程与上下平移一样，只需要确定两个量即可。先求向右平移三个单位后直线 L2 的表达式。直线 l 与坐标轴的交点 a（ -2，0）、B（0，4）向右平移后，对应点为（ -1，0）、（3，4）。代入解析式 y = kx + b 解方程组得到直线 L2 的解析式为 y = 2X - 2，同理可得直线 L3 的解析式为 y = 2X + 10。
与上下平移一样，由于平移后直线 l 与直线 L2、直线 L3 平行，故可以先确定解析式中系数 k 的值，再带入一个点即可求出解析式。具体过程如下，直线 L2 与 L3 的解析式分别求出为 y = 2X - 2 和 y = 2X + 10。思考，当直线向左或向右平移时，也能像上下平移那样找到一般规律吗？请同学们课后自行探究。
我们总结出平移时直线解析式的特点：两条直线平行，解析式的系数 k 相等，明确了求直线解析式可以把问题转换为先求直线上两个点的坐标，或是从图像特征观察出 k 和 b 的变化特点。
接下来求直线 l：y = 2X + 4 关于 x 轴对称的直线 n 的解析式和直线 l 关于 y 轴对称的直线 n 的解析式。与平移时相同，只要找到直线 y = 2X + 4 上任意两点的对称点，即可求出直线 n 的解析式。直线 y = 2X + 4 与 x 轴交于点 a（ -2，0），与 y 轴交于点 b（0，4），点 a 关于 x 轴的对称点即为点 a 本身，点 b 关于 x 轴的对称点为（0， -4）。设直线 n 的解析式为 y = kx + b，把（ -2，0）和（0， -4）代入后，解得 k = -2，b = -4，故直线 n 的解析式为 y = -2X - 4。同理可得直线关于 y 轴对称的直线 n 的解析式为 y = -2X + 4。
思考，能写出直线 y = kx + b 关于 x 轴对称的直线 n 的解析式吗？关于 y 轴对称的直线 n 的解析式呢？可以模仿例 2 的做法，通过确定直线 n 上的两个点，即可求出直线的解析式，也可以通过观察图像的特征确定 k 与 b 的值，求直线的解析式。
用同样的思路完成例 3，将直线 y = 2X + 4 绕原点顺时针旋转 180 度，求旋转后的直线解析式。同样选择两点，直线 y = 2X + 4 与 x 轴交于点 a（ -2，0），与 y 轴交于点 b（0，4）。点 a 绕原点顺时针旋转 180 度的对称点为（2，0），点 b 绕原点顺时针旋转 180 度的对称点为（0， -4）。设所求直线的解析式为 y = kx + b，代入后解得 k = 2，b = -4，故所求直线的解析式为 y = 2X - 4。