师：同学们大家好，今天我们学习多边形内角和。本节课的学习目标是探索并证明多边形内角和与外角和公式，体会转化思想和从特殊到一般的认识问题的方法；运用多边形内角和与外角和公式解决简单问题；通过猜想推理活动，探索数学结论的确定性，提高大家的学习热情。在学习本节课之前，我们一起回顾之前所学的知识。三角形的内角和是180度，长方形和正方形的内角和是多少度呢？
生：360度，因为每个内角是90度，有四个内角。
师：长方形、正方形是特殊的四边形，那么任意一个四边形的内角和是否也等于360度呢？我们可以通过量角器量出四边形A、B、C、D四个内角的度数，再进行相加。如果需要更严谨的证明，可以通过连接对角线AC，把四边形ABCD转换成两个三角形ABC和三角形ADC。那么四边形四个角就转换成∠1、∠2、∠3、∠4、∠B、∠D等六个角的和。由于每个三角形的内角和是180度，那么四边形的内角和是360度。
如果是五边形，你能根据刚刚的推导求得五边形的内角和度数吗？同样的，从五边形的一个顶点出发，连接各顶点可以发现五边形分成三个三角形，那么五边形的内角和就是三个三角形的内角和，等于3×180度，等于540度。你们能通过以上的过程求得n边形的内角和吗？
生：从n边形的一个顶点出发，可以引出n - 3条对角线。那么将n边形转化为n - 2个三角形，因此n边形的内角和为（n - 2）×180度。
师：我们一起回顾刚刚推导n边形内角和的过程，是将未知的多边形通过连接对角线转化为三角形，从而证得n边形的内角和为（n - 2）×180度。在这里，解决问题的关键是将多边形分成三角形，你还有其他的分法吗？如果我们不选用顶点，而是边上的其他点，是不是也可以？以五边形为例，选五边形边上的一点连接各顶点所组成的线段，就将五边形分割成四个三角形，那么四个三角形的内角总和为4×180度，以边上这点为公共顶点的四个角的和，是一个平角180度，所以五边形的内角和为4×180度 - 180度 = 540度。
如果推广到n边形，同样的，我们可以从n边形一边上的一点出发，连接各顶点的线段，就可以将n边形分成n - 1个三角形，那么n边形的内角和就为n - 1个三角形的内角总和减去一个多余的平角180度，从而得到（n - 2）×180度。
我们知道这个点可以在顶点上，也可以是边上的其他点，换句话来说就是这个点可以是边上的任意一点，那还能是其他位置吗？
生：可以选择五边形内部的一点，连接这点与各顶点的线段就将五边形分成五个三角形。
师：没错，五个三角形的内角总和为5×180度，而以中间这点为公共顶点的五个角的和是一个周角360度，所以五边形的内角和为5×180度 - 360度得到540度。如果是n边形，同样的从n边形内部的一点出发，连接各顶点的线段，将n边形分成n个三角形，那n边形的内角和就为n个三角形的总和，减去中间周角360度，从而得到（n - 2）×180度。我们还可以选择五边形外部的一点连接，这点与各顶点的线段可以构成四个三角形。那么四个三角形的内角总和为4×180度，由于多出的角的和刚好是上面黄色三角形的内角和180度，所以五边形的内角和为4×180度 - 180度 = 540度。同样的，推广到n边形也可以得出（n - 2）×180度。刚刚我们用了几种方法证明n边形的内角和为（n - 2）×180度，都是通过将未知的多边形转化为已知的三角形。这个点可以是边上的任意一点，也可以是内部、外部的一点。
我们知道180度可以联想到三角形内角和，从而转化为三角形去求解，你通过180度还能联想到什么吗？
生：平行时的同旁内角互补，还有平角也是180度。
师：对，那你能通过平行去转换角求得别的证法吗？有兴趣的同学课下可以进行研究。我们已经学习了多边形内角和定理，具体怎么应用？一起看例题，如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系呢？试说明理由。为方便研究，我们不妨画出一个四边形ABCD，由题目已知条件一组对角互补，那么可以∠A和∠C的和等于180度。由于四边形的内角和为∠A + ∠B + ∠C + ∠D =（4 - 2）×180度 = 360度，所以∠B和∠D的和就会等于360度减去∠A和∠C的和，等于180度。也就是说如果一个四边形的一组对角互补，那么另外一组对角也互补。