师：同学们，大家好。今天我们学习九年级人教版数学第 27 章相似三角形的判定。
一、学习目标
理解三边成比例的两个三角形相似。
会运用三边成比例的两个三角形相似解决简单问题。
二、学习方法提示
由于题目图形需要分析思考和解答时间，请同学们在与老师一起读题后按下暂停键，自己独立分析思考，并尝试在练习本上写下解答过程，再点击播放聆听老师的分析和讲解，校对解答过程。本课练习均按此学习方法进行学习。祝同学们学习愉快。
三、课前热身
请同学们回顾本章前两节课知识，并完成下列填空，之后校对答案。
空格一：两种；空格 2：相等；空格 3：相等；空格 4：角 B’；空格 5：AC 比 A’C’；空格 6：三角形 ABC；空格 7：相似；空格 8：VE；空格 9：三角形 ADE；空格 10：对应角相等；空格 11：成比例。
类似于判定三角形全等的 SSS 方法，我们能否通过三边的对应关系来判定两个三角形相似呢？
四、探究一
任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的两倍。请同学们拿出几何本跟老师一起画图。
操作：如左图所示，在边长为 1 的小正方形网格中，在长为 5、宽为 3 的红色长方形中画三角形 ABC。在长为 10、宽为 6 的蓝色长方形中画三角形 A’B’C’，可得三角形 A’B’C’的各边长都是三角形 ABC 各边长的两倍。
五、探究二
请度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？与同学们交流一下，看看是否有同样的结论。
是的，通过量角器测量，我们发现∠A = ∠A’，∠B = ∠B’，∠C = ∠C’。又因为两个三角形的边对应成比例，所以△ABC∽△A’B’C’。
下面我们用前面所学的定理进行证明。
如图所示，已知在△ABC 和△A’B’C’中，(\frac{AB}{A’B’}=\frac{BC}{B’C’}=\frac{AC}{A’C’})。
求证：△ABC∽△A’B’C’。
证明：在线段 A’B’上截取 A’D = AB，过点 D 作 DE∥B’C’交 A’C’于点 E。
这样我们就构造了△A’DE。思路点拨：△A’DE 是证明的中介，它把△ABC 和△A’B’C’联系起来。即下面我们要证明△A’DE∽△A’B’C’，△A’DE≌△ABC，从而得△ABC∽△A’B’C’。
下面我们继续看证明过程，因为 DE∥B’C’，所以△A’DE∽△A’B’C’，所以(\frac{A’D}{A’B’}=\frac{DE}{B’C’}=\frac{A’E}{A’C’})。
又(\frac{AB}{A’B’}=\frac{BC}{B’C’}=\frac{AC}{A’C’})，由作图得 A’D = AB，所以(\frac{DE}{B’C’}=\frac{BC}{B’C’})，(\frac{A’E}{A’C’}=\frac{AC}{A’C’})。
所以 DE = BC，A’E = AC，所以△A’DE≌△ABC。所以△ABC∽△A’B’C’。
本题证明也可以在 B’A’的延长线上截取 A’D = AB。课后请同学们自己画图并完成证明过程。
那么我们通过两个三角形的三边成比例推理证明得出两个三角形相似。这就是本节课学习的新知识相似三角形的判定二。
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理。
文字概括为：三边成比例的两个三角形相似。
几何语言：在△ABC 和△A’B’C’中，因为(\frac{AB}{A’B’}=\frac{BC}{B’C’}=\frac{CA}{C’A’})，所以△ABC∽△A’B’C’。
六、运用三边成比例的两个三角形相似解决简单问题
典型例题例一
根据下列条件判断△ABC 与△A’B’C’是否相似，并说明理由。
已知 AB = 4cm，BC = 6cm，AC = 8cm，A’B’ = 12cm，B’C’ = 18cm，A’C’ = 24cm。
解：相似。理由如下。
因为(\frac{AB}{A’B’}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3})，(\frac{BC}{B’C’}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3})，(\frac{AC}{A’C’}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3})。
所以(\frac{AB}{A’B’}=\frac{BC}{B’C’}=\frac{AC}{A’C’}=\frac{1}{3})。
所以△ABC∽△A’B’C’。
这样我们可以归纳出用三边大小判断两个三角形相似的步骤：
（1）计算各组对应边的比值。
（2）判断各组的比值是否相等。
（3）判断是否相似。
巩固练习
根据下列条件判断△ABC 与△A’B’C’是否相似，并说明理由。
提示：将每个三角形的三边按从小到大的顺序排列，得 AB = 3cm，AC = 4cm，BC = 5cm，A’B’ = 6cm，A’C’ = 8cm，B’C’ = 10cm。
请问为什么要先排序呢？是的，排序目的是准确找出对应边。
解：相似。理由如下。
因为(\frac{AB}{A’B’}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2})，(\frac{AC}{A’C’}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2})，(\frac{BC}{B’C’}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2})。
所以(\frac{AB}{A’B’}=\frac{BC}{B’C’}=\frac{AC}{A’C’}=\frac{1}{2})，所以△ABC∽△A’B’C’。
技巧归纳：
（1）先将三边从小到大的顺序排列。
（2）按大比大、中比中、小比小计算比值。
（3）对比各组对应边的比值是否相等，判断相似。
练习二 变式训练
如图，网络图中每个方格都是边长为 1 的正方形，若 A、B、C、D、E、F 分别是格点，求证△ABC∽△DEF。
思考：如何在网格中求格点三角形的各边长。
分析：网格中小正方形的边长为 1，由此我们可以得到，AB = (4\times1 = 4)，由勾股定理可得，AC = (\sqrt{2})，BC = (\sqrt{10})，DF = (\sqrt{8})，EF = (\sqrt{40})。
证明：由题意得，AB = 4，DE = 8，AC = (\sqrt{2})，BC = (\sqrt{10})，DF = (\sqrt{8})，EF = (\sqrt{40})。
因为(\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}}=\frac{1}{2})，(\frac{BC}{EF}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{40}}=\frac{1}{2})，(\frac{AB}{DE}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2})。