师：大家已经学过圆这一章的知识，领略了圆的深邃与美妙。今天，我们一起来上一节圆的专题复习课——与圆有关的计算。在我初三时，与圆有关的计算题并不多，但有一道题让我印象深刻。希望大家学习这节课后，要是能做出这道题，就比我初三时还厉害。下面，让我们一起遨游圆的奇妙世界。首先，来一组热身练习，这3组练习不难，但对本节课学习很有帮助。大家暂停视频，动笔算算。
（学生做题）
师：好，先对一下答案。我们解释一下第一题的第三小问，这个题不能像前面两小问一样直接计算。BC是3，标在图上，AB - AC = 2，这个条件怎么用呢？如果用特殊值，当AB = 3时，AC = 1；当AB = 4时，AC = 2，这样不仅没完没了，还试不出正确答案。这个题目图形简单，条件也不复杂，但引出一个重要思路——方程思想。直接算很难入手，我们设小的AC为x，那么AB = x + 2，然后用勾股定理列方程求解，再求AB。
我们再看热身二、第一小问，用等积法求CD又快又准。第二小问要多说一下，有的同学还是会用等积法先求CD，然后用勾股定理求AD。也有的同学会设AD为x，DB就是2√5 - x，接着在左右两个直角三角形中分别使用勾股定理，借助CD2等量代换得到等式来列方程。还有的同学学过相似，会直接用射影定理，AC2 = AD × AB来求。熟悉射影定理的同学能想到这个等式，可以把条件和所求直接联系起来。大家可以分别试一下这几个方法，都很重要。
热身3，帮助大家复习圆的性质，也考察分类讨论和提取图形的能力。题目中的直角没有直接给出，需要我们挖掘隐含条件。数个数要做到不多不少，这需要按某种顺序分类讨论，解题时说不定就用到其中某一个特殊三角形，所以首先要能看到它们的存在。
有了刚才的热身，下面开始这节课的第一部分。有两个题，大家暂停视频，动笔算一算。
（学生做题）
师：好，两道题答案如下。我们来看第一题。由垂径定理可得，CP和PD都是4，标上条件后发现，想用勾股定理求CB和BD长度，但题目要求半径，图中的半径有AO、OB，感觉现有的条件和要求的半径没办法结合，考虑添加辅助线构造三角形建立联系。如果连接OC，在直角三角形COP中，勾股定理可作为一个等量关系。设小的OP为x，大的OC就是x加上某个长度，一个未知数搭配一个等量关系，未知数可求，算出半径是17/2。会用相似的同学看到已知的4和1，要求半径，也就是AO、OB，怎样把它们联系起来呢？可以连接CA、CB，得到相似三角形，CP2 = AP × PB。这个等量关系里只有一个未知量，AP就能直接求出来，加上1得直径，再除以2就是半径。当然，可能还有同学有其他做法。
大家可以把这个题和课本上赵州桥的问题比较一下，看看相同之处在哪里。
第二题，标上条件3、2√2，要求半径，现有的半径是OA、OB，直接用这两个数求半径，感觉无从下手。这题能求吗？是不是少条件呢？其实有个条件没用，就是这个垂直。求边长可以把直角转化为勾股定理，在左边的直角三角形COP中使用勾股定理，能把条件3和要求的半径CO扯上关系，但是CP长不知道，2√2也没用上。如果在右边的直角三角形CPB里面使用勾股定理，2√2用上了，3又用不上。这时，大家要想到双勾股这个小技巧，用两次勾股定理，依靠CP2等量代换得到OC2 - OP2 = CB2 - PB2。这个等量关系里可以只设一个未知数，设PB为x，搭配一个等量关系作为方程，可求解出x + 3就是半径的长。学过相似熟悉射影定理的同学，连接CA可以得到射影定理的三个常用结论，考虑已知的是CB、OP，求半径，要把它们联系起来，可以使用CB2 = BP × BA。在这个等量关系里，设PB为x，半径就是x + 3，OA就是x + 3，那么AB也能求出是2x + 6，分别代入解出x，加上3就是半径。当然，可能有同学还有其他解法。
做完这两个题之后，我们来小结一下。第一，求长度的题，关键是什么？求线段长，条件会给长度，设法找到条件和所求线段之间的关系，就是解题关键，就像在迷宫中找到入口和出口的连线，这也是乐趣所在。添加辅助线构造三角形也是为了找联系。第二，怎样想到要设未知数呢？一是在现有的条件下直接求解不下去了，就像走迷宫不一定要从入口开始；二是发现了还没用过的等量关系，能把条件和所求联系起来，一个等量关系里只设一个未知数，方程就可以解出来。大家可以想一想刚才拿来当等量关系列方程的都用了什么方法。