师：同学们好，今天我们学习人教版八年级下册第十八章平行四边形的复习第二课。首先来看今天的学习目标：一、能运用三角形的中位线定理解决有关中点四边形的问题；二、会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理进行证明，进一步认识一般与特殊的联系。
在本章平行四边形的学习中，我们学习了三角形的中位线定理。大家看，如图，点(E)、(F)分别是(\triangle ABC)边(AB)和(BC)的中点，由三角形的中位线定理，我们可以得到中位线(EF)与第三边(AC)有这样的关系：(EF\parallel AC)，(EF = \frac{1}{2}AC)。三角形的中位线定理既反映了两条线段的位置关系，也反映了两条线段的数量关系，在图形的证明和计算中使用非常广泛。
我们在(\triangle ABC)中另取一点(D)，连接(AD)、(CD)，并取(AD)和(CD)的中点(H)和(G)，连接(GH)。根据中位线定理，同样可以得到(GH\parallel AC)，(GH = \frac{1}{2}AC)。同学们，这里两条中位线(EF)和(GH)都与(AC)密切相关，那么它们又有什么关系呢？由刚才得到的关系式，可以得到(EF\parallel GH\parallel AC)，(EF = GH = \frac{1}{2}AC)。这里中间这条线段(AC)，也就是四边形(ABCD)的对角线，起到了桥梁的作用。
我们接着看图，连接(EH)、(FG)，(EH)和(FG)又有什么关系呢？(EH)和(FG)与另一条对角线(BD)有着和刚才一样的联系，也就是(EH\parallel FG\parallel BD)，(EH = FG = \frac{1}{2}BD)。继续看图，图形中是不是又出现了一些新的几何图形呢？由于中位线与第三边有着平行的关系，所以图中出现了一些大大小小的平行四边形。我们隐去其中两条对角线，图中仅剩下新的四边形(EFGH)，发现它是一个平行四边形，大家会证明吗？
梳理一下问题：已知如图，(E)、(F)、(G)、(H)分别是四边形(ABCD)各边的中点，求证四边形(EFGH)是平行四边形。如何证明呢？通过连结对角线(AC)，构成三角形的中位线这个基本图形。由中位线定理得，(EF)和(GH)平行于(AC)，并且(EF = GH = \frac{1}{2}AC)，得到一组对边平行且相等，从而证出四边形(EFGH)是平行四边形。
具体的证明过程如下：
证明：连结(AC)，因为(E)、(F)、(G)、(H)分别是各边的中点，所以(EF\parallel AC)，(EF = \frac{1}{2}AC)，(GH\parallel AC)，(GH = \frac{1}{2}AC)，所以(EF\parallel GH)，(EF = GH)。由一组对边平行且相等，所以四边形(EFGH)是平行四边形。
还有其他的证明方法吗？刚才我们通过连结对角线(AC)，由一组对边平行且相等证明了(EFGH)是平行四边形。我们连结(BD)，当然也可以证明，方法和刚才一样。我们知道从边的角度去判定四边形是平行四边形，除了一组对边平行且相等之外，还有两组对边分别相等，或者两组对边分别平行。那么我们在这里同时连结(AC)和(BD)。利用中位线定理的数量关系可以得到(EF = GH = \frac{1}{2}AC)，(EH = FG = \frac{1}{2}BD)，从而用两组对边分别相等来证明平行四边形。同时我们也可以利用中位线与对角线的平行关系，由(EF\parallel HG\parallel AC)，(EH\parallel FG\parallel BD)，得到两组对边分别平行，从而得到平行四边形。具体的证明过程请大家参考。
这里我们来小结一下。刚才我们通过把四边形(ABCD)四边的中点顺次连结起来，得到一个新的四边形，我们把这个四边形叫做中点四边形，也就是顺次连结四边形的各边中点所得的四边形叫做中点四边形。通过探究我们得出了这样一个结论：任意四边形的中点四边形一定是平行四边形。在刚才的证明过程中，我们通过连结四边形的对角线，把四边形的问题转化为三角形的问题来解决，这种转化的思想很重要。同时我们注意到，证明中点四边形是平行四边形的过程中，利用了中点四边形的各边与对角线具有平行的位置关系，也具有线段长度的倍数关系，所以对角线在证明中点四边形的过程当中起到了很大的作用。
既然任意四边形的中点四边形一定是平行四边形，那么它有没有可能变成特殊的平行四边形呢？我们进一步来探究中点四边形能不能成为矩形呢。我们知道任意四边形的中点四边形一定是平行四边形，平行四边形变成矩形需要一个角是直角，我们看其中的(\angle HEF)，它有没有可能等于(90^{\circ})呢？我们知道中点四边形的各边与对角线具有平行关系，所以图中出现了一些大大小小的平行四边形，其中(\angle HEF)与两条对角线(AC)和(BD)形成一个如图所示的红色小平行四边形。根据平行四边形对角相等的性质，我们知道(\angle HEF = \angle AOB)，而(\angle AOB)是由两条对角线相交所得。所以当对角线(AC\perp BD)时，(\angle HEF = \angle AOB = 90^{\circ})。