师：同学们好，今天我们一起来复习二次函数的图像和性质。先来看本节课主要内容：第一，二次函数的定义；第二，二次函数的解析式；第三，二次函数的图像与性质；第四，二次函数图像的平移；第五，二次函数与方程不等式。
下面回顾第一个知识点：什么是二次函数？一般地，形如(y = ax2 + bx + c)（(a)、(b)、(c)为常数，且(a ≠ 0)）的函数称为二次函数，这是结构化定义。观察发现(y)的表达式是二次三项式，(a)是二次项系数，(b)是一次项系数，(c)是常数项。特别注意，(a ≠ 0)，即二次项系数不为(0)。
下面做两道题巩固一下。看例题一第一小问，已知二次函数(y = x2 - 2x - 3)，(a)等于多少？
生：(a = 1)。
师：非常棒，(b)等于多少？
生：(b = -2)。
师：(c)呢？
生：(c = -3)。
师：这里要注意，系数是带着符号的。接下来看第二小问，当(m)取何值时，(y)是关于(x)的二次函数。有同学说，因为是二次函数，所以(m2 + 3m + 2 = 2)，解出来(m? = 0)，(m? = -3)。答案真的是这样吗？
生：老师不对，还得考虑二次项系数，(m + 3)不能等于(0)，(m)不能等于(-3)，所以(m)只能取(0)。
师：对，以后遇到这类题目，二次函数定义包含两个条件：一是最高次数为二次，二是二次项系数不为(0)，这两个条件缺一不可。
有了定义，思考二次函数有没有解析式？事实上，二次函数有三种不同形式的解析式。第一种是定义给出的一般式；第二种是顶点式(y = a(x - h)2 + k)，这里(h)、(k)与顶点坐标有关；第三种是交点式，若二次函数与(x)轴交于两个点，可采用此式。这三种形式可相互转化。
一般通过待定系数法求解二次函数解析式，具体看例题。已知二次函数图像经过(( - 2,0))与((6,0))，最小值是(-32)，求这个二次函数的解析式。思考应采用哪种解析式？
生：看到已知两点是与(x)轴的交点，可采用交点式。
师：设(y = a(x - 6)(x + 2))，有了交点式怎么求(a)？还有个条件没用，最小值(-32)。二次函数最小值在哪取到？
生：在顶点处。
师：对，顶点横坐标是对称轴，纵坐标是(-32)。这道题要求出对称轴，根据对称性，对称轴是(x = 2)，从而得出顶点坐标是((2, - 32))。代入可求出(a = 2)，进一步化简得到(y = 2x2 - 8x - 24)。
可能有同学疑问，求出顶点坐标，为啥不采用顶点式？当然可以，也可采用顶点式，直接设(y = a(x - 2)2 - 32)，再代入题目中两点中任意一点即可。又有同学疑问，求出顶点坐标，题目给了两个点，相当于已知三点，也可采用一般式，直接设(y = ax2 + bx + c)联立方程组求出(a)、(b)、(c)。不过对比发现，这道题采用顶点式和交点式更方便。所以以后做题，要根据已知条件，选择合适解析式简化结果。
不管用哪种方式，都是利用待定系数法。有了定义和解析式，回忆一下，一次函数图像是直线，反比例函数图像是双曲线，二次函数图像是什么？
生：是抛物线。
师：对，可采用五点作图法画出抛物线图像，大概有开口向上和开口向下两种情况。思考决定抛物线形状大小、走势的要素有哪些？回忆困难的话，跟老师一起填个表格，以顶点式为例，看对称轴、顶点坐标、最值和增减性。
表格第二列是(a > 0)的情况，第三列是(a < 0)的情况。不管(a)大于(0)还是小于(0)，对称轴都是(x = h)，顶点坐标都是((h,k))。再看最值，开口向上时，图像先下降后上升，有最低点，函数有最小值，当(x = h)时，(y_{min} = k)；开口向下时，图像有最高点，函数有最大值，(y_{max} = k)。再看增减性，在对称轴左侧，开口向上时，(y)随(x)增大而减小；在对称轴右侧，(y)随(x)增大而增大。记住图像大致走势，增减性和最值根据图像就能得出。
具体看例题(3)，已知二次函数(y = - (x - 6)2 + 8)，顶点坐标是多少？
生：((6,8))。
师：最大值呢？
生：(8)。
师：再看第二问，一个对称轴平行于(y)轴的抛物线与(x)轴交于((1,0))和((3,0))两点，它的对称轴是什么？思考一下，抛物线是轴对称图形，对称轴是两点连线的垂直平分线上，根据图像很快得出对称轴是(x = 2)。解题时也可直接用交点式的对称轴公式(x = \frac{x? + x?}{2})，一般式通常化为顶点式，求出对称轴(x = -\frac{b}{2a})。记住这两个公式，做题会更方便。接下来看例题。
这道题给一个函数图像，判断下列哪个选项错误。从选项看都是求字母符号，先思考(a)的符号，怎么确定？
生：图像开口向下，(a < 0)。
师：对，再看图像与(y)轴正半轴相交，(c)的符号呢？
生：(c > 0)。
师：那么(ac)的乘积呢？
生：(ac < 0)，(A)选项正确。
师：再看(B)选项，(b2 - 4ac)怎么判定？回忆一下，(b2 - 4ac)是判别式(\Delta)，存在于一元二次方程中，二次函数与一元二次方程有什么关系？
生：当(y = 0)时，二次函数变成一元二次方程。
师：从图像看，抛物线与(x)轴交于两个点，方程有几个实数根？
生：两个不相等的实数根，(b2 - 4ac > 0)，(B)选项正确。
师：再看(C)选项，思考对称轴，题目告知对称轴是(x = 1)，对称轴(x = -\frac{b}{2a} = 1)，(b)应该等于什么？
生：(b = -2a)，(C)选项错误。
师：这道题应选(C)，但老师有个疑问，为什么(D)选项正确？为什么(a - b + c = 0)？
生：因为抛物线与(x)轴交于((3,0))，根据对称性，对称轴是(x = 1)，与(x)轴另一个交点是(( - 1,0))，所以(D)选项正确。
师：通过这两道题，以后根据二次函数图像判定系数符号要注意，判定(a)的符号看抛物线开口方向；(c)的符号看抛物线与(y)轴交点纵坐标；(b)的符号联系抛物线对称轴，若对称轴在(y)轴右侧，(-\frac{b}{2a} > 0)；若在左侧，(-\frac{b}{2a} < 0)；若在(y)轴上，(-\frac{b}{2a} = 0)。遇到(b2 - 4ac)，看抛物线与(x)轴交点个数；出现(a + b + c)和(a - b + c)的符号，看图像当(x = 1)或(x = - 1)时的点的纵坐标。
不同函数图像可通过平移变换得到，比如把(y = ax2)平移到一般二次函数，通过上下左右平移，平移规律是“上加下减、左加右减”，上下是针对整个表达式加减，左右是针对自变量(x)加减。具体看例题，若抛物线(y = x2)向左平移三个单位，根据平移规律“左加”，(x)位置上加(3)，整理得到(y = x2 + 6x + 9)，再向下平移，注意是在前一问基础上，直接在解析式后面减(2)。
再看第二问，如果抛物线(y = x2)经过怎样平移得到(y = x2 - 2x + 2)？为清楚看到(x)与(y)变化，把一般式配方得到顶点式，从顶点表达式发现(x)位置减了(1)，所以向右平移一个单位，整个解析式后面加了(1)，再向上平移一个单位。也可通过特殊点平移，原函数顶点坐标是((0,0))，目标函数顶点坐标是((1,1))，从((0,0))变到((1,1))，横坐标加(1)，纵坐标也加(1)，相当于右移一个单位，再上移一个单位。记住平移规律，解题效率会大大增加。
最后看二次函数与方程不等式的联系。通过前面例题发现，二次函数(y = 0)时变成一元二次方程。从数的角度，一元二次方程的解对应二次函数(y = 0)时相应的(x)值；从图形角度，图像与(x)轴交点的横坐标对应一元二次方程的解。
若(y > 0)或(y < 0)，二次函数变成不等式，不等式解集可从数和形的角度思考。老师以形的角度为例，(y > 0)时，二次函数图像位于(x)轴上方；(y < 0)时，图像位于(x)轴下方，找到相应(x)取值范围即可。具体看例题(6)，题目给两个函数图像，一个二次函数，一个一次函数，两图像交于(A)、(B)两点，求使得(Y? > Y?)时(x)的取值范围。怎么思考(Y? > Y?)？
生：(Y?)是抛物线，(Y?)是直线，在两个交点处分别做平行于(y)轴的直线，将平面直角坐标系分成三个区域，找到(Y?)图像在(Y?)图像上方的区域，答案是(x < -2)或(x > 8)。
师：老师再问，如果(Y? ≤ Y?)，结果是什么？
生：找到二次函数图像低于或在一次函数图像下方的区域，(x)的取值范围是(x ≥ -2)且(x ≤ 8)。
师：至于(-2)和(8)为什么能取到，课后思考。老师再问，方程(ax2 + bx + c = kx + m)的解是什么？
生：等号左边是(Y?)表达式，右边是(Y?)表达式，就是问(Y? = Y?)时的解，从图像上看是寻找两个图像交点的横坐标。
师：所以以后求解二次函数与方程、不等式的关系，先学会看图找交点，最后利用数形结合思想。
这是今天这堂课的所有内容。现在一起回忆本节课主要内容。首先思考二次函数解析式怎么确定，通过待定系数法；其次思考如何根据二次函数图像得出性质，怎样判定相应系数符号，以及二次函数与方程不等式有怎样的联系。这些问题都要结合数形结合思想。本节课始终贯穿函数思想和方程思想。好，这节课就上到这里。